Anche tu econometrico, prima lezione: le distribuzzioni

Ragazzi, io vi voglio bene, ed è anche Natale, ma vi devo dire una cosa: certe volte ho l'impressione di svuotare il mare col cucchiaio. Ho avuto un paio di domande in coda al post precedente che mi hanno gettato nella disperazione più cupa, ma... Sto appunto contando fino a un miliardo prima di rispondere. Comunque, visto che l'economia rinuncio a insegnarla, proviamo con qualcosa di più complicato. Magari riesce meglio. Potrebbe sembrare un paradosso, ma non lo è del tutto: l'ho imparato da Kees Boeke, che millanta anni fa, in una master class, a una pippa che aveva un problema ritmico in non so più quale cosa del Pastor Fido, disse: "Perché non fai i trilli?" Ora, visto che il problema era evidentemente il solfeggio, l'idea di insistere sugli abbellimenti poteva sembrare assolutamente bislacca. Eppure, il pisquano ricominciò coi trilli, e questa volta il pezzo quadrava. E la spiegazione di Boeke fu assolutamente esemplare: "Certe volte basta distrarre l'allievo per portarlo a fare la cosa giusta".

Ognuno di voi (maschietti) si è servito senza saperlo di questo saggio consiglio almeno una volta nella vita - tranne Simone Previti (tralascio ulteriori spiegazioni per evitare l'intervento del KPO).

Allora: visto che non riesco in nessun cazzo di modo a farvi capire una cosa assolutamente concreta (cioè che di norma è un media le persone preferiscono comprare lo stesso bene dove costa di meno), oggi ci dedichiamo a un passatempo astratto, che ci servirà però per focalizzare alcuni concetti dei quali avremo bisogno nella nostra futura comune carriera di previsori economici (avete un grande - e incerto - futuro) davanti.

Supponiamo che non abbiate niente da fare e abbiate una moneta. La lanciate in aria e decidete che testa vale uno e croce vale zero. In linea teorica, potete aspettarvi che la probabilità di avere testa e quella di avere croce siano uguali. Ora, come saprete, le probabilità sono numeri compresi fra zero e uno. Quindi, se i due eventi che state considerando sono ugualmente probabili, entrambi avranno probabilità 0.5. Succede quindi una cosa di questo tipo (sempre parlando in astratto):

P(testa) + P(croce) = 0.5 + 0.5 = 1

Notate che un evento impossibile ha probabilità zero, per definizione. Far capire al piddino che il cambio flessibile non è immorale, per esempio, ha probabilità zero. L'evento certo, viceversa, ha probabilità uno. L'euro finirà con probabilità uno.

Allora, cosa significa, qua sopra, che la somma della probabilità di ottenere testa e di quella di ottenere croce è uno? Significa che se lanci la moneta, certamente otterrai o testa, o croce. Una delle due cose deve succedere per forza. Quindi 1 è la probabilità dell'evento: "o testa o croce". La somma delle probabilità indica la probabilità dell'evento che consiste nel verificarsi di almeno uno degli eventi le cui probabilità stai sommando (frase un po' complicata per un dopocena, ma se pensate all'esempio torna).

Fino a qui abbiamo parlato di quello che voi pensate sia probabile che accada: questa è la vostra percezione soggettiva della probabilità.Siamo quindi nel mondo della probabilità soggettiva.

Ma, tanto per dirne una, la moneta potrebbe essere sbilanciata. Magari da una parte è usurata, e quindi il suo baricentro la porta a cadere più spesso in un modo. Come si fa per verificarlo?

Ad esempio, un modo potrebbe essere lanciare la moneta in aria 100 volte, e poi dividere il numero delle teste ottenute per 100. Se la moneta è perfetta e avete fortuna, vi avvicinerete a 0.5.

Il numero che ottenete in questo modo è in effetti la frequenza relativa dell'evento testa: frequenza (cioè quando spesso capita) relativa (cioè riferita al numero totale di tentativi). Siamo nel mondo della probabilità frequentista.

Ora, qui si sono già aperti due mondi, quindi è meglio che li chiudiamo subito e facciamo un esempio. Siccome non ho niente da fare, ho lanciato cento volte una moneta in aria, e mi è successo questo:

Ops! Ho avuto 52 croci (che valgono zero) e quindi 48 teste (che valgono uno). La frequenza delle croci è stata 0.52, ed è in qualche modo una specie di "stima" della probabilità. Ora, direte voi, questo significa che la moneta è squilibrata? No, potrebbe anche significare che non ho provato abbastanza. D'altra parte, ripetendo l'esperimento, ho ottenuto:

...il 41% di croci: ma allora la moneta è squilibrata nell'altro modo? Bo'... Se ripeto l'esperimento:

...il 50% di croci e il 50% di teste... Le mie stime sono in effetti un po' ballerine: ripeto, forse 100 ripetizioni non sono abbastanza per ottenere una stima precisa della probabilità "vera", forse la probabilità "vera" nemmeno esiste, secondo von Mises dovreste ripetere l'esperimento infinite volte per avvicinarvici, ecc.

Notate come è fatta la distribuzione delle frequenze (probabilità?): è livellata, due valori uguali.

Oggi, però, non voglio parlarvi di questo. Diciamo che la frequenza relativa comunque una certa indicazione sulla probabilità di un evento (ripetibile) ce la dà, e vediamo cosa succede se consideriamo un evento di tipo diverso. Supponiamo che incontriate un vostro amico, e che decidiate di tirare in aria ognuno la sua moneta, sempre con la stessa regola: testa uno, croce zero, e di sommare i punteggi. Cosa può succedere? Se avete entrambi croce, la somma è zero. Se avete uno testa e l'altro croce, la somma è uno. Se avete entrambi testa, la somma è due.
Notate che i casi sono quattro:

tu croce, amico croce = 0
tu croce, amico testa = 1
tu testa, amico croce = 1
tu testa, amico testa = 2

Capite già che il "numero" che rischia di uscire più spesso, a questo giochetto è evidentemente l'uno, mentre lo zero e il due hanno probabilità più bassa. In effetti, prima ho incontrato un mio amico, ed è venuta fuori una cosa di questo tipo:

Ci sono uscite due teste 28 volte, due croci 24 volte, e una testa e una croce 48 volte. Vedete? In questo caso la distribuzione delle frequenze tende ad avere una forma a "tendina canadese": le frequenze (probabilità?) degli eventi estremi sono più passe, l'evento centrale (testa a uno e croce all'altro) è più frequente (probabile?). Notate che questo risultato si ottiene sommando due variabili "testa o croce" che invece hanno una distribuzione tendenzialmente livellata, piatta.

Poi, siccome ho tanti amici, passeggiando per il quartiere (perché non ho niente da fare, e del resto nemmeno loro, visto che sono statali improduttivi), ne ho presi una ventina, e gli ho chiesto: "Sentite, visto che non avete niente da fare, prendiamo ognuno una moneta, lanciamola in aria, poi sommiamo il numero delle teste: facciamolo cento volte, e vediamo che distribuzione di frequenze viene: se a tutti e venti esce croce, la somma sarà zero, se a tutti e venti esce testa, la somma sarà venti, in media dovrebbe venire un numero intorno a dieci". Lo abbiamo fatto, ed è venuto fuori questo:

Notate alcune cosette: le barre (frequenze) sono tutte più basse (relativamente piccole), e questo è ovvio: la probabilità totale è sempre uno, ma ora si distribuisce fra ventuno casi possibili, quindi a ogni caso tocca una probabilità più bassa. Notate anche che alcuni eventi non si sono mai verificati. Ad esempio, non è ma successo che tutti avessero croce (valore 0) o che tutti avessero testa (valore 20), ma nemmeno che 1 avesse testa e tutti gli altri croce (valore 1), o che uno solo avesse croce e tutti gli altri testa (valore 19). Viceversa, la cosa che è successa più spesso è che metà avessero testa, e metà croce: il valore 10 si è presentato nel 20% dei casi (frequenza relativa 0.2).

Notate anche che sommando venti variabili "testa o croce" dalla distribuzione piatta ("fifty fifty", 0.5-0.5, come nel terzo grafico sopra), abbiamo ottenuto una variabile dalla distribuzione lievemente "a campana", con un valore centrale più elevato, e valori lontani dalla media sempre meno probabili.

E ora, supponiamo di prendere tutti i piddini che ci circondano, ognuno con la sua monetina in mano, e di far loro lanciare la monetina in aria, per poi sommare i risultati, e calcolare la frequenza relativa. I piddini sono tanti: secondo la Bibbia, il loro numero è infinito. Cosa verrebbe fuori? Gli amici matematici lo sanno: una cosa molto simile a questa:

Si chiama curva gaussiana, o distribuzione normale di probabilità. Il teorema di De Moivre-Laplace ci dice appunto che se sommi un numero infinito di variabili casuali binomiali (sarebbero quelle somme delle quali vi ho parlato sopra), la distribuzione delle frequenze dei risultati seguirà una curva a campana di questo tipo. La dimostrazione, se interessa, è qui e a me la spiegò Gennaro Olivieri a Matematica finanziaria II. Da quel giorno capii che la matematica mi piaceva: veder emergere una distribuzione continua dalla somma di bernoulliane mi procurò una discreta (o continua) sindrome di Stendhal. In matematica, poi, sono beato come un economista. Ma forse ricorederte questa scena:

"Si intende di armi, mister Bond?" "No, mi intendo un po' di donne".

"Si intende di matematica, mister Bagnai?" "No, mi intendo un po' di bellezza".

E il teorema di de Moivre-Laplace è bello.

Ora voi direte: ma a noi che ce ne frega? E la risposta la so: niente. Però se vogliamo parlare di incertezza, se vogliamo veramente capire qualcosa di previsione, se vogliamo ragionare su quanto siano attendibili le previsioni del nostro modello (dove il "nostro" ovviamente si riferisce a chi ha pagato il biglietto, non ai pur graditi portoghesi), un po' di calcolo delle probabilità bisognerà pure che proviamo a impararlo.


Il risultato che vi ho fatto vedere è un caso particolare di un teorema di statistica noto come teorema limite centrale (ora arriva Basilisco, eccolo...), il cui senso è: se ripetiamo un certo evento per un numero sufficientemente elevato di volte, la distribuzione delle sue frequenze tenderà a una normale. In effetti, la normale si chiama così proprio perché è normale che eventi ripetuti obbediscano ad essa: l'evento più probabile, con la frequenza più alta, sarà quello che corrisponde al valore che ci aspettiamo in media, e a mano a mano che ci allontaniamo dalla media, la frequenza (probabilità) degli eventi sarà sempre più piccola, tendendo più o meno rapidamente a zero.

Ci serve?

Abbastanza sì.

Pensate ad esempio a quando abbiamo parlato della funzione del consumo. Abbiamo detto, con Keynes: "di norma e in media ogni individuo aumenta i propri consumi all'aumentare del reddito, ma non di tanto di quanto è aumentato il reddito".

Ad esempio, se un individuo consuma il 75% del reddito, mediamente succederà che C = 0.75 Y.

Ora, noi non osserviamo il consumo di "un individuo": potremmo anche farlo (se ci autorizza il magistrato), ma in macroeconomia, per fare prima, osserviamo i consumi di tutti gli individui. È possibile mai che tutti gli individui di un paese, posto anche che il loro desiderio sia di consumare esattamente e solo il 75% del proprio reddito, ci riescano sempre e comunque e in ogni anno?

La risposta, ovviamente, è no, per cui già possiamo immaginarci che anche a livello del singolo individuo il comportamento potrà essere meglio descritto da una cosa del tipo:

C_i = 0.75 Y_i + e_i

dove l'indice "i" indica l'individo e la lettera "e" indica l'errore, la distanza fra il valore teorico di quello che l'individuo avrebbe voluto consumare (o ci saremmo aspettati che consumasse), ovvero 0.75 Y_i, e quello che effettivamente ha consumato, e noi vediamo nelle nostre statistiche, ovvero C_i. In altre parole, sarà:

e_i = C_i - 0.75 Y_i

(scarto fra valore misurato del consumo e valore teorico).

Ora, se non possiamo aspettarci che nessun individuo rispetti esattamente i propri piani di spesa, ovviamente nemmeno a livello aggregato questi saranno esattamente rispettati. In altre parole, anche la funzione aggregata del consumo avrà un qualche errore statistico, cioè sarà una cosa del tipo:

C = c Y + e

dove c è la propensione marginale al consumo, ed e è l'errore statistico della relazione aggregata.

Di questo errore noi non sappiamo nulla: se sapessimo qualcosa, ne terremmo conto nella nostra funzione, e magari la modificheremmo di conseguenza. Una cosa però la sappiamo: siccome l'errore e è la somma degli errori e_i fatti da tanti individui i, per il teorema limite centrale la sua distribuzione di probabilità sarà normale.

Ovviamente

#CHEW

per ora, ma, come vedremo abbastanza rapidamente nei prossimi post, questa semplice informazione ci permette di effettuare previsioni che tengano conto in modo professionale dell'incertezza. Questo perché, in buona sostanza, sapere come è fatta la distribuzione di frequenza degli errori ci permette di calcolare quale è il margine di errore del nostro modello, con un grado di probabilità assegnato. Invece di dire: "il Pil crescerà dello 0.5%", potremo dire cosine un filo più sofisticate, del tipo: "il tasso di crescita del Pil cadrà, con una probabilità del 90%, in un intervallo fra -0.2% e 0.6%", tanto per dire.

Per ora vi do dei numeri a casaccio, ma poi, naturalmente, torniamo su tutto, comprese le domande che mi hanno dato la piacevole sensazione di star vuotando il mare col cucchiaio.

Pubblico senza rileggere perché ho il prof. Santarelli di sotto. Gli errori trovateli voi.


P.s.: ieri sera, sempre a proposito di bellezza, magnandome le cotolette d'abbacchio fritte co' li carciofi fritti in un ristorante goofyaccreditato (frequentato peraltro da economisti ortodossi del calibro di un... non ve lo dico!), dove ho incontrato l'amica Donna Olimpia (compagna di tante battaglie musicali), ho anche appreso (o saputo di apprendere) da Marco Basilisco che il teoremino di cui sopra ha a che fare col fatto che la normale è una distribuzione che massimizza l'entropia, e che Shannon aveva congetturato che il teorema limite centrale potesse in definitiva essere spiegato in questi termini, dal momento che ogni variabile aleatoria che aggiungi alla somma di fatto ne aumenta l'entropia. Avrò capito? Comunque anche i matematici non hanno capito subito, ci hanno messo un po' a dimostrare questa congettura, che se capisco bene generalizza il teorema limite centrale, o comunque ci arriva da un'altra strada. Dal che conseguono due corollari. Il primo è che l'attrazione di Basilisco per l'entropia motiva la sua attrazione per Rockapasso (soprannominata, appunto, "Entropia", dagli ingengngnieri che la frequentavano). La seconda, più superficiale, riguarda la natura della ricerca scientifica, che secondo Basilisco consiste nel trasformare una risposta in una domanda. Cioè: De Moivre a Laplace hanno risposto alla domanda "che succede alla distribuzione di una somma di binomiali?". E la risposta era: "È gaussiana". A questo punto l'econometrico ci lavora, e il ricercatore si chiede: "Ma perché è gaussiana?".

E poi si muore, soli, come si è soli quando si capisce.