Allora: premesso che la media della Y intesa come E(Y), come valore atteso, cioè come valore che mi aspetto che la Y prenda quando io sono al tempo zero e non ho alcuna informazione (le monete non sono state lanciate), in effetti dovrebbe essere zero, come hanno intuito correttamente alcuni di voi, vedete bene che, a differenza di quanto pensavano altri, non è che aumentando il numero delle osservazioni si osservi necessariamente una maggiore mean reversion, cioè un ritorno verso la media, cioè verso lo zero. Forse l'idea che hanno in mente alcuni di voi, cioè quella di applicare una legge dei grandi numeri, qui non funziona. Aspettiamo fiduciosi il parere di un matematico (ma li vedo tutti volare bassissimi...).
Se volete divertirvi anche voi, potete continuare qui. Basta premere F9, che è esattamente quello che fece l'Altissimo sulla sua tastiera il famoso giorno del fiat lux, per vedere una nuova serie. Molte, ne son sicuro, somiglieranno in modo soprendente a dati "veri" che abbiamo commentato.
Eritis sicut Deus...
Vostro,
Crotalo.
se guardo il grafico ruotando la testa di 90° diventa il percorso del plinko
RispondiEliminahttp://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html
Ma infatti il plinko ha il 50% di probabilità di cadere a destra o a sinistra, no? Fichissimo questo grafico!
EliminaPlinko??? A Fisichetta I chiamavasi Quinconce di Galton... bei tempi.
EliminaNon ci sto capendo molto e per uscire dall'imbarazzo faccio lo spiritoso, posso?
RispondiEliminaLegge di Gumperson
La probabilità che qualcosa accada è inversamente proporzionale alla sua desiderabilità.
Ok capito!
RispondiEliminaIl problema con sta Y è che è la somma di tante variabili aleatorie!!
E' la MEDIA di Y (non Y stessa) che sarà 0 a t infinito, perchè le singole variabili aleatorie che compongono Y hanno tutte media nulla.
Quindi si, i campioni avranno quella faccia lì rumorosa, ma loro media è comunque zero..
Sicuro? Proviamo...
Eliminagià provato ;)
EliminaAspetta, però: pensa sempre a una cosa. Media nel senso di valore atteso, cioè di quello che puoi dire della Y prima del lancio delle monetine, o media nel senso di media campionaria, cioè di divisione della somma delle Y per il numero delle osservazioni?
EliminaMedia campionaria.
EliminaMa si, come le dicevo nell'altro post, di questa media campionaria non me ne faccio niente.. La media è zero ma la distribuzione dei singoli campioni è discreta, o 0.5 o -0.5. Cioè sono scemo come prima: sono equidistante dai possibili valori osservabili.
Posso solo dire che anche per il 50001esimo valore, dopo 50000 osservazioni, ho il 50% di probabilità di avere 0.5 e il 50% di probabilità di avere -0.5..
O no?
Non so se hai provato bene. La media delle Y è la somma delle Y diviso per il numero delle Y. Ad esempio, la somma delle prime 100 Y divise per 100. A parte che non ti serve molto bene a prevedere Y, vedrai che non necessariamente converge a zero...
EliminaMi sa che confondi le Y con le Z, però ora è tardi. Continuiamo domani!
EliminaPrendiamo l'esempio precedente con y(100) = 12
Elimina12:100 = 0,12
Al prossimo lancio la media potrebbe essere 0,115 oppure 0,125.
Lo scarto è minimo, ma ora che lo so, come mi aiuta a determinare cosa sia più probabile attendersi dal prossimo lancio? A me sembra sempre fifty-fifty.
Se faccio la media dei valori attesi:
12,5 + 11,5 = 24:2 = 12 cioè come oggi
In questo modo limito la possibilità di errore allo 0,5, ma mi precludo la probabilità del 50% di indovinare perché al 101esimo lancio devo andare per forza a 11,5 o a 12,5, l'unica cosa certa è che non posso restare a 12.
E quindi?
Non si fa così!!!! In questo post doveva esserci la risposta così andavamo a dormire sereni. Se sogno Fama è colpa sua.
No difatti Y mi andava a zero solo perchè i valori erano piccoli e 50000 è grande.
EliminaVoglio resistere alla tentazione di googlare la soluzione.
Ora secondo me il fatto è questo:
Y è una fregatura, perchè è la somma di singoli campioni di variabili che hanno media nulla. Allora forse non posso più dire che Y ha media nulla in quanto somma di funzioni a media nulla. Y avrà media quello che vuole a seconda dei campioni di Z che ho avuto.
Tornando alle domande dunque:
Se fosse così come l'ho pensata io, allora non potrò mai sapere a priori la media di Y finchè non lancio le monetine. Il che forse un senso ce l'ha: Y è aleatoria visto che aleatorie sono le Z.
E la media di Y mi servirebbe per avere, beh, la media di Y (da intendersi come valore atteso), ma non ce l'ho (a priori).
Per Y101 sono inguaiato. E' Y100+-0.5. Se scelgo uno dei due ho il 50% di probabilità di prenderci. Se scelgo Y101=Y100 sbaglio sicuro ma l'errore è il minore possibile (0.5 invece che 1). Oppure posso scegliere seguendo il trend di Y fino a quel momento. Magari derivo Y e uso la derivata per stimare Y101.
Non so se ha molto senso: sarebbe ammettere che Y ha memoria di quanto successo prima e non mi pare il caso.
Io andrei con Y101=Y100. Errore minore vince sempre.
Infine, forse questo modello lei lo ha costruito per farci capire che un fenomeno che sembrerebbe doversi smorzare nel tempo, non è detto che lo faccia (anzi non lo fa mai). Ha forse una relazione col fatto che comportamenti singolarmente razionali possono essere collettivamente distruttivi?
Magari in questo senso il lancio di una moneta può diventare di destra o di sinistra.
Se credo che Y se ne andrà a 0 potrò fregarmene di vederla esplodere, tanto poi andrà a 0. Se invece so che potrebbe non farlo magari mi invento qualcosa, se il mio interesse è avere Y=0 per t infinito (in questo caso sarei di sinistra).
Sono vicino?
Quindi anche se la media di Y è zero essendo ogni lancio "indipendente" dall'altro, ogni volta che viene effettuato un lancio si riazzera la sequenza tornando sempre ad una nuova condizione di 50 e 50?
RispondiEliminaE la media di Y è zero e dimostrata solo all'infinito?
Meglio che non mi venga mai in mente di giocare a Rosso e Nero con la roulotte!
I matematici volano bassi per stare al gioco e non rompere le palle con processi Markoviani, martingale e analogie con il moto browniano... non saremmo all'altezza... lei è un grande maestro della maieutica ed è un piacere vederla all'opera!
RispondiEliminaE' na questione de X e de Y.. Semo tutti froci.. :-)
RispondiEliminahttp://youtu.be/qtnVFOpNW5c
supposto che la variabile è costruita sui 100 lanci il 101 sarà come il primo,
RispondiElimina1914 uguale a 2014? (le ultime dall' Ucraina.....?)
Credo che:
RispondiEliminaY registra gli scarti dal valore atteso di Z. E' chiaro che aumentando il numero di lanci aumenta la probabilità di creare scarti sempre maggiori. Dunque, come dice Alberto (Lattuada) è la media degli Y a tendere a 0 e non Y; ma questo come dice Alberto (Bagnai) non serve a prevedere Y.
Comunque a quest'ora....
Buonanotte
Cristiano
Catena di Markov?
RispondiEliminaAlberto, non mi umiliare se mi sbaglio!
RispondiEliminaCiò che potrebbe sembrare paradossale inizialmente, cioè l'andamento crescente e non tendente a zero della Y, è dovuto semplicemente ad una suggestione fallace alla quale noi tutti in un primo momento siamo portati a credere. Siccome ci viene detto spesso che con un numero di lanci n tendente all'infinito il valor medio si avvicina sempre più al valore centrale (qui 0), ci viene naturale pensare che quindi fatto un tot di lanci, magari molto grande, il numero delle teste deve eguagliare quello delle croci.
Il punto d'osservazione però dev'essere spostato sulle frequenze RELATIVE e non ASSOLUTE. Ciò significa che è razionale aspettarsi che lo scarto fra la frequenza relativa e il valore della probabilità tenda a zero al crescere del numero dei lanci, ma NON ha senso aspettarsi che ci si avvicini a zero con lo scarto fra il valore e quello atteso (o facendo la differenza tra le T e le C) - ed anzi qui cresce - perché in questo caso stiamo ragionando sulle frequenze assolute. La somma delle T non eguaglierà mai la somma delle C, anche con infiniti lanci, questo perché - come detto dal prof - un evento come questo non ha memoria. Dopo 50 croci, non ha senso matematico aspettarsi 50 teste per “bilanciare” l'andamento. Non c'è nessuna forza magnetica, divina o piddina che obbliga la moneta a riportare un numero uguale di teste e di croci.
La “legge dei grandi numeri” si basa sulla considerazione delle frequenze relative e non di quelle assolute.
L'inghippo è semplicemente logico. Ragion per cui è facile far credere ai numeri ritardatari, eccetera eccetera…
Vedo che il prof chiama in causa i "matematici" (io non lo sono, ma comunque ho una laurea nella suddetta venusta disciplina) ... faccio un paio di osservazioni. Se siano fair game o no non lo so, tanto decide er cavajere:
RispondiElimina1) Fatto generale: all''aumentare del numero di lanci, non c'è alcuna reversion to the mean, ed anzi i "picchi" e le "depressioni" diventano sempre più accentuati: fissata una qualsiasi soglia k, (o -k), prima o poi la nostra Y la supererà. Trattasi di un'applicazione di un risultato fondamentale di probabilità (or better, teoria della misura) noto come lemma di Borel-Cantelli
2) Con ciò non abbiamo mica trovato un controesempio alla legge dei grandi numeri... :); per essa, la variabile giusta da considerare è Z/n (se capite cosa intendo), non Z,e tutto funziona alla perfezione. [Credo che la legge dei grandi numeri sia una fra le cose più citate a sproposito e meno conosciute nel mondo intiero; se la batte con i mirabolanti scritti di Altiero Spinelli.. che infatti non ho letto]
3) Qual è il senso didattico di tutto ciò? Do una mia interpretazione: attenzione a non fare gli ingenuotti che poi vengono "fooled by randomness"!! Spessissimo trend, correlazioni, large deviation sono manifestazioni di fenomeni puramente stocastici, e noi ci accaniamo a cercarne la "causa" o a ritenerli "prova" di qualcosa (esilaranti i quotidiani economici sulle oscillazioni di borsa). Ciò è particolarmente drammatico in un mondo di big data...
La studioso che in anni recenti ha indagato più a fondo l'oscura relazione fra caso, rischio, bias psicologici/comportamentali è Nassim Taleb: la lettura della sua opera a mio avviso è un must assoluto; un po' come il nostro prof, è un uomo poliedrico di profonda cultura... ed è (ovviamente) su posizioni anti euro.
******
Una nota di colore sul punto 1:
I teorici della misura dicono che il succitato Lemma di Borel Cantelli (come la gran parte dei risultati nel loro campo) vale "quasi certamente". Che vuol dire? Che vale con probabilità = 1, ma non necessariamente "sempre". Come si spiega? :D
Typo al punto 2): ovviamente intendevo Y ed Y/n, non Z e Z/n
RispondiEliminaVa da sé. Visto il post successivo?
EliminaEh no prof!! mica se la cava così. Me la tiro per dieci secondi di gloria [solo dieci, non di più...] perché mi ero fatto lo stesso grafico Excel e ci ero arrivato. Ma quali sono gli utilizzi in Economia di questa random walk? ci si fanno i soldi perché aiuta a prevedere un andamento borsistico perché un percorso ha una sua probabilità associata, per cui magari alcuni pattern sono più probabili di altri? oppure è un semplice modello buono per fare interessante accademia intorno ad un tavolo?
RispondiEliminaForse il prof ci vuole dire banalmente che la media dovrebbe tendere a zero ma di fatto non lo fa mai quindi la statistica è inutile al casinò?
RispondiEliminaSeguo da molto questo blog ma questo è il mio primo commento.
RispondiEliminaMi riallaccio a quanto diceva Lattuada.
Per la legge dei grandi numeri la somma dei lanci dovrebbe convergere a 0 per n che tende ad infinito, ma non è affatto detto che converga velocemente!
Infatti dire che la somma tende a 0 vuol dire che il numero delle teste e delle croci dende ad essere lo stesso, ma nel frattempo la differenza può essere molto significativa. Se per esempio su 100.000 tiri il numero di teste (+0.5) supera il numero di croci (-0.5) solo dello 0.1% (e che quindi farebbe già dire "vabbè, sono quasi uguali") la somma verrebbe comunque 100 (cioè 100.000*0.5*(50.1%-49.9%)).
Visto che questi bei disegni potrebbero sembrare un grafico di un'azione, l'unico dato che riesco ad estrapolare dalla SStoria è che non è detto mi verrà concesso il 50001 lancio, potrei essere fallito da un pezzo o arricchito, se vinco o perdo un fiorino per ogni lancio. Nel lungo periodo ecc.?
RispondiEliminaMi venga un accidente! ma se la media fosse semplicemente l'ultimo punto di ogni grafico?ho dormito male?
RispondiEliminaSe per media intendi media condizionata all'informazione fino al tempo t no, hai capito bene. Ma è puro culo, o hai capito cosa hai detto? Perché è dove volevo arrivare, per trascinarvi nel gorgo dell'economia neoclassica. Il lato oscuro della forza vi attende...
EliminaE se avessimo bisogno di un campione di 1000000 lanci?
RispondiEliminaContinuo a non capire, ma la cosa è stimolante. Premesso che ho scaricato il file ma Libre Office si rifiuta di eseguirlo, ho osservato i grafici dei 50000 lanci e ne ho ricavato solo questo: le probabilità che esca testa o croce sono sempre 50/50 ad ogni lancio, quindi la pendenza del grafico è data solo dalla frequenza con cui, in un dato momento escono più teste o più croci.
RispondiEliminaSe avessimo sempre una testa seguita da una croce e viceversa, il grafico sarebbe piatto. Più frequentemente però le teste e le croci escono a grappoli e questo determina quindi l'innalzamento o l'abbassamento della curva.
Da questo ne traggo la conseguenza che non è possibile determinare una previsione che si discosti dal 50/50 iniziale.
A meno che non si passi ad analizzare altri fattori, quali peso della moneta, forza del pollice che lancia, stabilità e inclinazione del dito che sostiene la moneta, posizione di partenza eccetera. Robba da ingegnieri inzomma.... :-D
Il senso mi sfugge, lo confesso e non sono in grado di rispondere alle domande del post precedente. Pensavo che l'esamino fosse più facile e non ho studiato abbastanza. :-D
Con un camper funziona lo stesso?
RispondiEliminaUn calcolo non difficile mostra che la media DEL QUADRATO di Y_n è uguale a n.
RispondiEliminaNon c'è bisogno di osservare che IL QUADRATO di Y_n è per forza di cose un numero positivo, perché non solo più per più fa più, ma anche meno per meno fa più.
Dopo n passi, il nostro ubriaco stocastico (senza offesa parlando) si trova a una distanza dal punto di partenza pari a circa la radice quadrata di n.
In alcuni dei tuoi grafici questo è visibile. La radice quadrata di 50000 è circa uguale a 223. La radice quadrata di 100 è uguale a 10.
"...
RispondiEliminaZénon! Cruel Zénon! Zénon d'Êlée!
M'as-tu percé de cette flèche ailée
Qui vibre, vole, et qui ne vole pas!
Le son m'enfante et la flèche me tue!
Ah! le soleil . . . Quelle ombre de tortue
Pour l'âme, Achille immobile à grands pas!
..."
Problema antico.
Smaltita l'ottima e abbondante dose di Bourgogne Passetoutgrain di ieri sera provo a dire qualcosa.
L'aumentare dei lanci aumenta inevitabilmente lo scarto legittimamente atteso e le prove lo mostrano chiaramente. La crescita dovrebbe (non ho competenze sulla materia) essere esponenziale cioè a n lanci corrisponderà la legittima attesa di uno scarto n*1/2 (o qualcosa del genere: matematici venite in accorso!).
Come nella gara tra eroe e chelone avremo un doppio punto di vista apparentemente contraddittorio: all'aumentare dei lanci assisteremo all'aumento dello scarto e contemporaneamente alla tendenza verso zero del rapporto tra scarto e lanci.
Cristiano
P.S. Ah, il Passetoutgrain è di Emmanuel Rouget (mitico!)
Ce toit tranquille, où marchent des colomber,
Eliminaentre les toits palpite, entre les tombes...
Grazie di averci pensato. Potrebbe sembrare un paradosso di questo tipo. In realtà alla fine con quello che volevo dirvi e vi dirò il passaggio al limite non c'entra poi moltissimo. I matematici latitano, non ci degnano della loro attenzione...
Da non matematico sono incastrato. Scusate l'ignoranza, ma dopo aver letto post & commenti, solo due considerazioni mi vengono in mente:
RispondiElimina- posso lanciare tutte le monete che voglio, ogni nuovo lancio non ha memoria di quello che sia uscito prima. Le probabilità sono sempre le stesse indipendentemente da quanti ne ho fatti prima.
- fare un grafico a linee con risultati che di fatto sono scollegati uno dall'altro mi sembra solo un modo per fare dire ai numeri quello che si vuole. Se il primo punto è corretto, allora sto semplicemente prendendo nota dei risultati usciti. Cercare una relazione è una forzatura.
Ma immagino che questa sia solo l'apparenza...
Aspetta. Ogni lancio non ha memoria dei precedenti, e questo ve l'ho detto anch'io. Ma la loro somma, cioè Y, incorpora tutti i precedenti, e quindi se li ricorda. Ti aiuta questa intuizione?
EliminaMi aiuta ad arrivare qua (ovviamente insieme a tutto ciò che nel frattempo è stato pubblicato):
EliminaSe mi immagino tutto il discorso di Y solo come grafico e lo scorro nel tempo vedo una semiretta con origine in Y0, la quale nel tempo sale/scende rispetto alla Y in base ai risultati che escono man mano. A questo punto la domanda è, quando queste due benedette rette coincidono? Solo e soltanto quando sono uscite esattamente le stesse 0.5 e -0.5. Un po' improbabile. Ancor più se me lo immagino all'infinito, mi sembra come l'esempio delle 25.000 palline da ping pong lanciate in uno stanzone diviso in due: è possibile che in un dato momento tutte le palline si trovino in un solo lato dello stanzone?
Non è che siamo di fronte a qualcosa di matematicamente possibile ma statisticamente impossibile?
Sono in ritardo ma tanto non si vince niente ;)
RispondiEliminaLa media di y è 0 e ai comuni mortali come me serve a sapere lo scarto tra teoria e realtà. Per la y 101 la cosa più razionale sarebbe puntare verso lo 0, cioè se nel campione siamo a +12 scommettere su -0,5 e da giocatore direi di avere più del50% di possibilità, ma sono sicuro che mi "corriggerete". Il grafico può servire a far credere ai polli che ci sia una tendenza laddove domina il caso...appunto per spennarli
Ma no, perché? Scusa, ogni lancio ha probabiltà 50% di essere testa e 50% di essere croce. Non importa dove sei. Devi puntare "verso lo zero" nel senso di attribuire al nuovo lancio (incremento di y fra y100 e y101) la sua media, che è zero, e vedrai che se prevedi y101=y100 sbagli di sicuro, ma poco!
EliminaPremesso che non sono nè un matematico nè un economista e quindi posso tranquillamente permettermi una figurella di cacca, a me pare che ciò che converge a zero non è il valore assoluto di Y bensì la differenza della frequenza dei due esiti possibili (testa o croce) rispetto al numero degli eventi (lanci), dato che i suddetti esiti hanno la stessa probabilità di verificarsi.
RispondiEliminaQuindi, se si conosce tale probabilità la serie storica è del tutto inutile a fini previsionali in quanto non modifica i rapporti di probabilità.
Viceversa se dalla serie storica si vogliono ricavare le probabilità allora, su un sufficientemente grande numero di eventi, non è il valore assoluto di Y che ci dice qualcosa ma il rapporto tra Y ed il numero degli eventi.
Più questo si approssima a zero e più le probabilità dei due esiti possibili si pareggiano.
Ho detto una cosa ovvia?
Sinceramente non riesco a comprendere la domanda. Sono sicuramente duro di comprendonio.
RispondiEliminaPartendo dai presupposti che
X(t) è il risultato del lancio di una moneta equilibrata (quindi non vale per 1 €)
Z(t)=X(t)-0,5
Y(t+1)=Y(t)+Z(t+1)
sapendo che
E[Y(t+1)]=0 e
E[Y(t+1)|Y(t)]=Y(t)
cosa stiamo cercando?
Stavamo cercando l'ultima relazione, non per te, che la sai, ma per chi non la sa. E stavamo anche cercando di far capire che da una somma di variabili a media nulla può scaturire una tendenza, cioè qualcosa che in media sembra crescere, anche se, paradossalmente, il suo valore atteso è zero (penultima relazione).
EliminaMa tu questo lo sai.
Prof,
RispondiEliminaesiste anche la probabilità che su 50.000 lanci escano tutti +0.5 oppure tutti -0.5. Il risultato sarebbe stato +25000 o -25000.
Su n lanci, la probabilità che escano tutti dello stesso segno è 1/(2^n) (così ad occhio sono quasi sicuro, ma anche se la formula è sbagliata il concetto rimane quello)
D'altro canto non mi pare che nessuno dei grafici quì sopra incappi in una combinazione particolarmente "strana" perchè tutto sommato quello più pendente arriva a circa -250, cioè l1% del massimo a cui sarebbe potuto arrivare.
Come not a margine, ci sarebbe da dire che se ha usato un computer per simulare i lanci, nel 99% dei casi ha usato un algoritmo di numeri pseudocasuali e non casuali veri. Di solito sono buoni algoritmi, ma non si può dire che ogni evento sia indipendente dal successivo.
L'ultima cosa non c'entra molto, perché un white noise deve essere un processo incorrelato, non necessariamente indipendente. Nel post parlo di indipendenza, hai ragione, ma la definizione di rumore bianco però prevede che ci possa essere dipendenza attraverso i momenti di ordine superiore. Dipende da quante informazioni hai. Anche un generatore di numeri casuali piuttosto semplice ti produrrà di solito numeri non prevedibili linearmente (incorrelati), pur se, evidentemente, conoscendo la formula, saresti in grado di prevedere la sequenza con probabilità uno. Un altro esempio potrebbe essere un white noise ARCH (se sai cos'è, altrimenti te lo faccio vedere in un altro post).
EliminaMi pare che tu faccia un errore che hanno fatto molti altri, cioè quello di confondere Y (somma delle Z), che diviso per t (numero delle osservazioni) dà la media campionaria delle Z (che converge alla media della popolazione, quest'ultima essendo nulla per costruzione), con la media delle Y, cioè la SOMMA di tutte le Y divisa per t, che dovrebbe convergere (secondo voi) a zero, ma non mi pare lo faccia.
RispondiEliminaHo chiarito qui.
Pensare che con infiniti lanci si converga a zero e' da comunisti.
RispondiEliminaC'È una possibilità su 100 che la somma di 100 lanci casuali sia zero
Allora: "Media nel senso di valore atteso, cioè di quello che puoi dire della Y prima del lancio delle monetine" x me ZERO (miglior approssimazione possibile)
RispondiEliminaINVECE:"media nel senso di media campionaria, cioè di divisione della somma delle Y per il numero delle osservazioni" x me tengo x buona la Y100 quale miglio approssimazione di ciò che sarà (xke dentro avra' 101 Z1 e solo 1 Z101)
Se ho cazzeggiano chiedo venia...
Maremma majala, ma te l'hanno già detto Enrico e Fausto che siccome non è necessario che la varianza sia finita la legge forte dei grandi numeri implica che anche la meda campionaria delle Y converga alla sua speranza matematica, al suo valore atteso (cioè zero)!
EliminaPerò la seconda risposta che dai è giusta, se cambi la domanda.
Ne parliamo fra un po', nella prima puntata del "Keynesianesimo per le dame". Visitando Balzac sono stato invaso dal demone del feuilleton...
Professore!!! Ha fatto 6 post in 2 giorni!, mi scuso ma li sto leggendo a ritroso nel we e cercavo di non leggere tutti i commenti x vedere se mi ci avvicinavo senza copiare..
EliminaAd ogni modo confesso che la sua risposta x me è' come un'altro post... Adesso me la studio.... Maremma maiala!
Due giorni più una vita...
EliminaCirca la legge dei grandi numeri: se la applichiamo alle Z (le funzioni che valgono -1 o 1 con probabilità 1/2) ci dice che se calcoliamo la media aritmetica di tutte le realizzazioni delle Z (e queste sono tante) otteniamo proprio il valore atteso, cioè 0. Qui però non siamo calcolando la media aritmetica, stiamo calcolando la somma senza dividere per il totale...
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