Passeggiata aleatoria (1ter)

(...post inutilmente tecnico. O lettore, se capiti oggi per la prima volta su questo blog, sappi che esso non è sempre così. Spesso è anche peggio. Chi rimane mi fa un favore, chi se ne va me ne fa due...)

(...prima di raccontarvi la vera storia del pollo di Trilussa, cosa della quale, come vedo, c’è un gran bisogno, chiamo a rinforzo i matematici e cerco di chiarire col loro aiuto un piccolo punto. Chi è interessato alla sostanza del problema – che poi sarebbe come si fa a prevedere una variabile economica, e che cosa certi comportamenti delle variabili ci dicono sul comportamento degli agenti economici, e che cosa c’era scritto nel two Charlies paper che vi ho citato spesso, e perché Granger e Fama hanno preso il Nobel, ma anche che cos’è una bolla, come si fa a vedere se c’è, e perché tutto questo e molto altro ci dovrebbe interessare – può tranquillamente saltare questo post. Ci metto apposta un po’ di formule a mo’ di spaventapasseri...)

[ESPERTONE MODE ON]

Alcuni di voi (e.g., Alberto Lattuada) hanno evocato la LLN (no, scusate, volevo dire la LLN) con riferimento alla variabile Y, argomentando che la media campionaria delle Y dovrebbe asintoticamente convergere alla media non condizionata di Y.

Posto che:

dove Z_j è stato costruito come un white noise  usando una distribuzione bernoulliana centrata (espediente didattico: volevo evitare di usare distribuzioni assolutamente continue, ma questo non credo cambi la sostanza del problema, no?), accade che la media non condizionata sia:

e che, peraltro, anche volendo considerare che quando si evoca l’infinito la diventa majala di molto, tutto lascia pensare che sarà anche:

(dove 0 si legge in realtà zerantazeromilazeranta zeri). Quindi la media non condizionata è zero.

Ora però dobbiamo ragionare sulla media campionaria. Intanto, chiariamo come non è fatta. La media campionaria della Y non sarà:

perché questa è la media campionaria delle Z (essendo che ogni Y è la somma delle prime t variabili Z, e quindi se la dividi per t ottieni una stima della media non condizionata delle Z che è appunto zero).

(nota: per la notazione "t alla meno uno" mi sono ispirato a un grande classico).

La media campionaria delle Y sarà viceversa:

Quindi, ad esempio, con riferimento al grafico in questo post, sarà 601/100=6.01.

Ora, siccome come altri di voi (e.g., Marco85) hanno chiaramente visto, le Y non sono i.i.d., cioè non sono distribuite in modo né identico né indipendente, la domanda è: siamo sicuri che esista una qualche LLN che ci garantisca che:

(dove con la freccia indico un qualche tipo di convergenza in probabilità)? Voi quale LLN usereste per dimostrare la convergenza in probabilità della media campionaria delle Y alla media non condizionata delle Y che dovrebbe essere zero?

Occhio, perché quando Fausto vi dice questo:

Fausto di Biase ha lasciato un nuovo commento sul tuo post "Passeggiata aleatoria (1bis)":
Un calcolo non difficile mostra che la media DEL QUADRATO di Y_n è uguale a n.
Non c'è bisogno di osservare che IL QUADRATO di Y_n è per forza di cose un numero positivo, perché non solo più per più fa più, ma anche meno per meno fa più.
Dopo n passi, il nostro ubriaco stocastico (senza offesa parlando) si trova a una distanza dal punto di partenza pari a circa la radice quadrata di n.
In alcuni dei tuoi grafici questo è visibile. La radice quadrata di 50000 è circa uguale a 223. La radice quadrata di 100 è uguale a 10.
Postato da Fausto di Biase in Goofynomics alle 01 marzo 2014 10:59

diciamo che vi sta dando un avvertimento. Ecco, queste poche righe leggetele mentalmente con questo accento. Il quadrato è una specie di testa di cavallo...

Ovviamente la mia offerta a pensarci sopra è un’offerta che potete rifiutare (a proposito, mi avete fatto ricordare che devo telefonare a Luca). Adesso si esprimano Marco Basilisco e Enrico Pesce, e poi parliamo del pollo di Trilussa, perché vedo negli astanti un certo ondeggiamento fra momenti campionari e momenti della distribuzione...

[ESPERTONE MODE OFF]

(N.B.: la rima in espertone è la stessa per tutti, pure per me, quindi io sto parlando di cose delle quali fondamentalmente non capisco un cazzo, però so come si usano. Un po’ come la maggior parte di noi quando spinge l’interruttore per accendere la luce, mi spiego? La conseguenza è che adesso sciogliamo la muta dei matematici... Mentre loro mi inseguono per le strade della ville lumière, dove io percorro traiettorie rigorosamente ergodiche - ma loro, essendo dei teorici e non degli applicati, non realizzano che la cosa migliore da fare per raggiungermi è stare fermi - e prima che io spieghi a Nat la vera storia del pollo di Trilussa – Nat: se uno legge Tolstoj deve sapere cos’è una martingala, mi dispiace: l’umanesimo è una croce più pesante di quanto possa esserti sembrato al classico! – ricordo alla colonna parigina che domani se vedemo a cena. Che probabilità avete di trovare il ristorante lanciando una monetina a ogni fermata del métro?)

(...siete la classe che ho sempre sognato di avere: a una certa età bisogna anche cominciare a volersi bene e farsi ogni tanto un bel regalo...)

(...prima conseguenza del post: una telefonata di gelosia di Marco che mi dirà: "Ma cos'ha quell'Enrico che io non ho!?" È tanto un bravo ragazzo, Marco, un giovane geniale, segnato dalla vita, con le sue piccole, scusabili fragilità...)

(...n.b.: io un'idea sulla risposta tecnica ce l'ho e ha a che fare con memoria del processo e esistenza dei momenti. Sono fuori strada? Domanda seria per persone serie - quindi non avrò risposta...)