Passeggiata aleatoria (1)

(...questo lo dedichiamo ai cucciolotti con la sindrome di Dunning-Kruger, che lamentano tanto l’assenza di quei bei post tecnici che, quando li leggi, ti fanno sentire tanto intelligente. Proviamo a dargli la misura di quale sia il passo da varcare per arrivare all’inizio di un percorso di reale comprensione della letteratura economica. Voi potete farcela, loro no, perché pensano di avercela già fatta. Erore, co’ du ere, come bira...)

Sono due anni che leggete questo blog, è ora che sappiate non chi era vostro padre, ma perché son stati dati un paio di Nobel per l’economia. Per capirlo, vi servono due cose: una moneta, e un po’ di tempo. Come moneta potete tranquillamente usare anche un euro. Anzi, direi che se la moneta è l’euro, probabilmente avrete anche risolto il problema di avere molto tempo a disposizione, perché aumenta la probabilità che siate, purtroppo per voi, disoccupati.

Una moneta ha due facce. Il rovescio della medaglia dell’euro è la disoccupazione, ma non mi riferivo a questo. Mi riferivo al fatto che con una moneta potete giocare a testa e croce.

Ora ci serve il concetto di variabile aleatoria. Che cos’è? È una funzione, una regola matematica, che attribuisce un valore numerico all’esito di un evento. La variabile aleatoria più semplice si chiama indicatore di un evento, ed è quella variabile che prende valore uno se l’evento si verifica, e zero se non si verifica. Semplice, no?

Chiamiamo questa variabile X, volete?

Ora applichiamo questa variabile al lancio della moneta. Diciamo che l’evento che ci interessa è ottenere testa. Se è testa, la nostra variabile varrà uno, cioè X=1. Se è croce, la nostra variabile varrà zero, cioè X=0.

Mal di testa? Ma siete voi che volete diventare scienziati! Io vorrei, che so, un bel flame su Bach! Ma siccome chi è musicista in genere è anche una persona per bene, qui non siamo ancora riusciti a creare un simpatico ambiente tipo Radio CoattaClassica (ma ce la faremo). Quindi se avete il mal di testa prendete un cachet e andiamo avanti.

Notate una cosa. Prima dell’evento, prima che la SStoria faccia il suo corso, noi ovviamente non sappiamo che valore assumerà la variabile aleatoria. Per sapere se X è 0 o 1 bisogna sapere se si è ottenuto testa o croce, il che presuppone che tu abbia lanciato la moneta. Prima di lanciarla, non c’è modo.

Attenzione: non puoi sapere che valore assumerà la variabile. Però puoi sapere con che probabilità lo assumerà. Se la moneta non è truccata, la probabilità di avere testa è uguale a quella di avere croce: fifty fifty. Ovvero: la probabilità di avere testa è del 50% (0.5), e quella di avere croce è del 50% (0.5). Notate che le due probabilità sommano a uno: 0.5+0.5=1. Uno è la probabilità dell’evento certo. Cosa significa? Significa che se lanci in aria una moneta, fatto salvo l’improbabile caso che essa leviti all’infinito a un palmo dal suolo, necessariamente otterrai o testa o croce. La probabilità che tu ottenga qualcosa è uno. La probabilità che tu ottenga testa è 0.5. La probabilità che tu ottenga croce è 0.5.

Altro dettagliuzzo.

Supponiamo che tu abbia molto tempo da perdere, e che tu lanci la moneta due volte. Sapere che hai ottenuto croce al lancio precedente di dà qualche informazione su quanto otterrai al lancio successivo?

No. Non c’è alcun motivo fisico o matematico per il quale il lancio di una moneta debba risentire della propria storia precedente. In termini formali, i due lanci successivi di una moneta sono eventi stocasticamente indipendenti. Ovviamente ci sono molti motivi sentimentali per credere che un’estrazione casuale risponda alla propria storia. Su questi motivi sentimentali si basa lo Stato, che da tempi remoti (chi ha letto Casanova lo sa) li sfrutta per fare un sacco di soldi col gioco del lotto.

Aggiungiamo un altro dettaglio.

Così come la storia dei lanci passati, anche la distribuzione di probabilità non ti permette di sapere che valore otterrai al prossimo lancio. Ti permette però di stimare quale sarà la media dei risultati, il valore atteso. Diciamo, per capirci, che se lanci la moneta un centinaio di volte, è abbastanza plausibile che la media dei valori ottenuti sarà 0.5. Pensateci. Su 100 lanci a spanna dovremmo ottenere una cinquantina di teste. Siccome ogni testa vale 1, la media di quello che otterremo sarà appunto 50/100=0.5.

Non è un caso. Formalmente, il valore medio di una distribuzione di probabilità si ottiene appunto moltiplicando ogni valore per la rispettiva probabilità e sommando i risultati. Ora, capita che le cose stiano così: prob(X=1) = 0.5 = prob(X=0), quindi la media sarà:

E(X) = 1´0.5 + 0´0.5 = 0.5

Fico, no?

Dice: ma E() che significa? Significa expectation, valore atteso, della cosa che sta fra parentesi.

Bene.

Ora facciamo un’altra cosa. Centriamo la distribuzione. Non nel senso che le spariamo e la prendiamo in pieno. Nel senso che vogliamo una variabile che come media abbia zero. Perché? Fatevi un po’ i fatti vostri, scusate! A cosa serve ve lo dico dopo, ora cerchiamo di capire come si fa. È molto semplice: basta sottrarre a ogni possibile valore della X la sua media. Cioè basta creare una variabile aleatoria Z = X – E(X) = X – 0.5.

Insomma, la nuova variabile Z varrà 1-0.5 = 0.5 se esce testa, e 0-0.5 = -0.5 se esce croce. Ci siamo?

Dai, su, e se non ci siamo fino a qui poi non mi potete fare gli espertoni! E siamo solo all’inizio! Pensa quando parleremo di variabili assolutamente continue e vi dovrò presentare il nostro amico Lebesgue...

Allora: domandina ina ina. Qual è la media di Z? Dai, non dovrebbe essere difficile arrivarci: se in media su 100 lanci ti escono una cinquantina di teste e una cinquantina di croci, gli 0.5 si compenseranno con i -0.5 e come media dovresti avere zero, no?

Se vi piacciono le formule (cosa che ritengo probabile, visto che leggete paper difficili), allora ve la metto giù formale:

E(Z) = 0.5´0.5 - 0.5´0.5 = 0

Media zero. Ma avrei potuto mettervela formale anche in un altro modo, più filosofico.

E(Z) = E(X – 0.5) = E(X)- E(0.5) = 0.5 – 0.5

Z infatti è X-0.5, quindi la media di Z è la media di X-0.5. Ora, 0.5 non è una variabile aleatoria. È un numero. Quindi la sua media è semplicemente se stesso (la media di una costante è la costante stessa). Da qui consegue il risultato.

Notate un altro dettagliuzzo. La media di una somma è uguale alla somma delle medie. La media di X + (-0.5) è uguale alla media di X più la media di -0.5. Questa è una delle due proprietà che fanno della media un operatore lineare.

Bene. Ora armiamoci di santa pazienza e lanciamo cento volte la nostra moneta, segnando -0.5 se esce croce, e 0.5 se esce testa.

Io l’ho fatto, e mi è uscita una cosa del genere:

cioè, in tabella, questo:

Mastica, direte voi.

Giusto.

Ora però facciamo un’altra cosa, volete? Sommiamo tutte le zeta. Chiamiamo questa variabile Y, e quindi Y sarà uguale a:

Y₁ = Z₁ = 0.5

Y₂ = Z₁ + Z₂ = 0.5 – 0.5

Y₃ = Z₁ + Z₂ + Z₃ = 0.5 – 0.5 – 0.5

...

Y₁₀₀ = Z₁ + Z₂ + Z₃ + .... + Z₁₀₀ = 0.5 – 0.5 – 0.5 + ... + 0.5

Ora, pensate a cosa sono le Z. Sono variabili a media nulla, giusto? Le abbiamo costruite così. Quindi la loro somma in media sarà la somma di tanti zeri, qualcosa che non dovrebbe scostarsi da zero, giusto?

Infatti:

Ooooops!

Ma cosa succede? Succede che la somma di tante variabili a media zero in realtà non si comporta come una variabile a media zero, ma come una variabile che cresce seguendo una tendenza più o meno lineare, simile a quella di molte variabili economiche.

Diciamolo in un altro modo.

Se Y è la somma di tutti le Z, la loro somma integrale, il loro integrale (sento Fausto fremere di piacere, anche se poi dovrà necessariamente rompere le palle perché matematici si nasce), allora ogni Z è la sottrazione di due Y consecutive.

Esempio:

Y₂ - Y₁ = (0.5 – 0.5) – 0.5 = -0.5 = Z₂

e in generale Z_t = Y_t – Y_t-1. In altre parole: le Z sono gli incrementi dalla Y (ed è anche normale, visto che la Y è la somma delle Z).

Ci siete? Dai, che siamo alla fine.

Allora, il grafico della Y vi mostra che una variabile costruita lanciando in aria la monetina, e che quindi dovrebbe avere media nulla, mostra invece una media crescente nel tempo. Insomma: un tracciato i cui “passi” successivi sono stati estratti a casaccio, “flippando” una moneta, e che quindi, in quanto tale, non ci avrebbe dovuto portare da nessuna parte, invece ci porta verso l’alto.

Doveva essere una passeggiata “aleatoria” (anche se abbiamo lanciato una moneta e non un’alea), e invece è una tendenza con un R² maggiore del 90%.

Invece...

Be’, se sia “invece” o “infatti” questo lo vedremo dopo.

Intanto, vi faccio una domanda. Ma secondo voi la media di Y in effetti quanto è? E ci serve a qualcosa saperlo? Se volessimo prevedere il 101° valore d Y quale sarebbe la cosa più razionale da fare? Che senso ha modellizzare una variabile supponendo che i suoi incrementi siano puramente casuali e stocasticamente indipendenti?

Ok, avevo detto una domanda, e invece sono tante.

Voglio la risposta da chi non la sa, e se qualcuno che la sa fa finta di non saperla me ne accorgo subito, quindi nun ce provate. In classe questo gioco funziona. Ma io non ho bisogno di guardarvi negli occhi per capire quando non avete capito una mazza (e nemmeno per capire quando credete di aver capito tutto...).

Stampate e rileggete. Vi sembrerà un esercizio futile. Replicate l’esperimento, se volete. Vi sembrerà la cosa più idiota che abbiate mai fatto in vita vostra.

Scommettiamo che poi cambierete idea? Scommettiamo che riuscirò a dimostrarvi che perfino il lancio di una monetina in aria può essere “de destra” o “de sinistra”?

Alla faccia delle scienze “dure”, dure come la testa degli epistemologi della domenica.

Have fun. Io, con tutto il rispetto, ho un amico per cena e non voglio farlo aspettare...

(...scommettiamo anche che fra una settimana tutti i blog dei dilettanti parleranno di processi stocastici? Il motivo c'è: se ne fai a meno, se non li usi, puoi parlare di economia solo come un dilettante. E non c'è nulla che un dilettante detesti tanto quanto palesarsi per ciò che è...)