venerdì 29 dicembre 2017

Rendite e svendite

(...oppure saturnino e alpigiano, con gli occhi incavernati dalla diffidenza, con lo sfinctere strozzato dall'avarizia, e rosso dentro l'ombra delle sue lèndini... d'un rosso cupo... da celta inselvato nelle sue montagne... che teme il pallore di Roma e si atterrisce dei suoi dattili...)


L'economia, quella mainstream, ci insegna che il valore di mercato di un cespite (loro dicono: asset) è dato dal valore attuale del flusso dei suoi redditi futuri. Segue breve lezioncina di matematica finanziaria ad usum piddini (cioè vostro), che, per rendere assolutamente semplice, sfronderò da alcune ovvie complicazioni riferite al fatto che stiamo parlando del futuro, il quale, com'è noto, è avvolto dall'incertezza (soprattutto per il PD).

Per capire come vanno le cose, meglio prenderla al rovescio. Supponiamo di avere una somma R0 e di investirla al tasso i per un anno. Alla fine dell'anno ci dovrà essere restituita la somma R1:

R1 = (1+i) R0

Esempio: se investo 100 al 5% mi dovrà essere restituito 100x(1.05)=100+5=105, dove 105 è il montante, che consta della restituzione del capitale di 100 con gli interessi di 5.

Ora, nella vita il tempo non è reversibile. In matematica finanzaria sì: per valutare se una scelta finanziaria conviene, bisogna essere in grado di far andare i soldi avanti e indietro lungo l'asse dei tempi (la necessità di questo andirvieni scaturirà naturaliter dal seguito del ragionamento). La cosa può essere complicata a piacere, ma nel caso in specie è molto semplice. La formula precedente risponde alla domanda: quanto ottengo a fine anno se oggi investo R0? La domanda inversa è: per ottenere R1 a fine anno quanto devo investire oggi? La risposta alla domanda inversa si ottiene invertendo la formula, cioè risolvendola per R0:

Vale il discorso che le formule sono una risposta concisa. Strano che piacciano a un prolisso come me, ma la vita, si sa, è strana: negli ultimi cinque giorni, su Twitter, ne abbiamo viste di ben peggiori. Se volete ficcarci dei numeri, per non usurare la vostra capacità di astrazione, potete metterla così: se il tasso di interesse è al 5% e voglio ottenere 105 euro fra un anno, oggi dovrò investire 105/1.05=100, che è il valore attuale (ovvero: odierno) della somma che otterrò in futuro. Questa divisione, quindi, riporta finanziariamente una somma futura (105) al tempo presente.

Naturalmente se sono più paziente, e posso aspettare due anni, immaginando che il tasso di interesse sia noto e costante (il che potrebbe banalmente accadere perché lo ho stipulato contrattualmente), il discorsetto di cui sopra diventa:

R2 = (1+i)x(1+i) R0 = (1+i)2 R0

supponendo, come generalmente si fa in questi casi, che gli interessi vengano "capitalizzati" annualmente, che poi equivale a dire che alla fine del primo anno ti prendi i tuoi 105, e li reinvesti al 5%, ottenendo alla fine del secondo anno 105x(1.05) = 110.25 = 100 x 1.052 = 100 x 1.1025.

I conti tornano, no?

Se voglio riportare finanziariamente a oggi (tempo 0) una somma di 110.25 che percepirò fra due anni, posso calcolarne il valore attuale invertendo la formula, ovvero così:

Chiara la logica, no?

Ora cambiamo leggermente prospettiva. Supponiamo di sapere che un certo cespite (un investimento finanziario, un'azienda, il Colosseo...) in futuro ci procurerà un flusso di ricavi Rk, dove k = 1, 2, ... indica l'anno al termine del quale riscuotiamo i ricavi. Cominciamo facendola semplice e immaginando che un asteroide pietoso venga fra tre anni a sollevarci dallo spettacolo penoso della nostra politica. In altre parole, ci restano due anni di dibattito sullo ius soli (questo per riconciliarvi con la vostra morte, che comunque se siete vecchi conta meno, come abbiamo recentemente appreso da un novello Raskolnikov - va notata l'infinita sapienza dell'onomastica, che ha attribuito a quest'ultimo il nome Rodion, giustappunto perché rosicava). In questo caso, sempre ipotizzando un tasso di interesse costante, il valore attuale dei ricavi futuri percepiti si otterrà riportandoli finanziariamente a oggi:


Sì, avete capito bene: VA sta per valore attuale (in inglese sarebbe PV: present value). Il resto dovrebbe esservi ovvio.

Purtroppo, "del doman non v'è certezza" (verso che il mio amico Romeo Nepomuceno Ciuffa, maestro di cappella dei colli romani, riassumeva con un beneaugurante: "Oggi ce semo, domani nun ce sei"...). Non possiamo pensare che gli astri pietosi vengano a sottrarci al delirio di certa feccia: dovremo conviverci, ma non sappiamo per quanto. Gli economisti hanno un modo piuttosto spiccio di risolvere il problema dell'incertezza degli orizzonti: stante la difficoltà di imporre una condizione terminale che non sia arbitraria, normalmente essi lavorano con orizzonti infiniti. Venendo al nostro caso, supponiamo che l'azienda che stiamo valutando (o il Colosseo) non abbia una data di liquidazione certa. Bisognerà fare come se fosse eterna, il che significa che il suo valore attuale dovrà essere calcolato come somma di tutti gli infiniti ricavi futuri. Manca una parolina: ricavi futuri attesi. Tuttavia vi ho chiarito che per semplicità avrei fatto (parzialmente) astrazione dall'incertezza, altrimenti sarei stato costretto a introdurre  nel discorso il calcolo delle probabilità, per la gioia di alcuni (inclusi i soliti precisazionisti rompicoglioni che sarebbero venuti a spiegarmi cose che non capiscono), ma per lo sconforto delle moltitudini. Quindi, facciamo come se noi i ricavi futuri li conoscessimo. In base alla logica precedente, il valore attuale della nostra azienda (o del Colosseo), supponendo di conoscere i ricavi futuri, e supponendo che il tasso di interesse sia costante, sarebbe una cosa del tipo:


Che formulona complicatissima! Qualcuno di quelli che oggi si lamentano di non essere riusciti a combinar nulla in tanti anni, ai bei tempi l'avrebbe chiamata una "fumisteria econometrica" (perché nel dubbio sul da farsi, preferivano attaccare me anziché il nemico...). La logica, però, credo di avervela spiegata: ogni addendo prende la somma percepita in futuro e la "sconta" riportandola ad oggi. Che poi, se le formule complicate non piacciono, c'è un modo semplice per venirne a capo. Basta fare l'ulteriore ipotesi che i ricavi futuri non solo siano certi, ma siano anche costanti e uguali a R. Se è così, possiamo raccogliere R a fattor comune (aka "tirarlo fuori" dalla sommatoria), ottenendo questo risultato:


dove il secondo passaggio, mi rendo ben conto, non è immediato, ma la sua dimostrazione, se interessa, è qui (usiamo l'intertestualità, finché ce la fanno usare: non durerà). Questa semplice formula, quella che dice che il valore attuale di una rendita perpetua è uguale alla rata della rendita divisa per il tasso di interesse, torna comoda in molti ragionamenti, e noi l'abbiamo usata, ad esempio, qui (senza esplicitarla) e prima ancora qui. Come vedete, essa stabilisce una relazione inversa fra il prezzo di un cespite (il valore attuale del flusso infinito dei suoi redditi futuri) e il tasso di interesse. Voglio farvi notare che è tutt'altro che una remota astrazione, irrilevante per il dibattito, anzi! Una sua conseguenza è che quando i tassi di interesse crescono, i prezzi dei titoli scendono, determinando una capital loss (perdita in conto capitale) per i detentori. Lungi dall'essere un curiosum matematico, questo fatto della vita spiega perché raffinati intellettuali "de sinistra" siano contrari all'uscita dall'euro: perché temono che il rialzo dei tassi di interesse (che ci sarà solo nella loro testa, ma lasciamo stare) determini un calo del valore di portafoglio dei loro sudati Btp (e quindi i giovani disoccupati si fottano). Uno me lo ha detto in faccia, e non ve ne faccio il nome. Per completezza, aggiungo che avendo letto Dostoevskij non ho pensato "perché vive un uomo simile?".

Sarebbero #lebbasi.

Volendo metterci dei numeri, la formula de cujus ci dice che se, ad esempio, ci aspettiamo di ricevere dal nostro cespite un reddito annuo costante di 39 milioni, e il tasso di interesse a lungo termine è del 2,8%, il valore attuale del cespite (quello che gli economisti chiamano il valore fondamentale, perché basato sui fondamentali di mercato, per distinguerlo dal prezzo corrente che potrebbe essere scollato dai fondamentali per effetto di una bolla), sarà pari a:


che poi, in soldoni, significa che con un tasso di interesse simile, per cedere un cespite che fornisce una rendita simile senza rimetterci il venditore deve esigere quasi un miliardo e quattrocento milioni (un miliardo trecentonovantadue milioni e ottocentocinquantamila euri, per la precisione).

Perché vi do queste cifre a casaccio?

Ma naturalmente perché non sono a casaccio! Trentanove milioni sono gli incassi annui del Colosseo nel 2016 (quando ti visitano quasi sette milioni di turisti, ti può capitare di fare un po' di soldi), e il 2.8% è esattamente il tasso al quale l'Italia colloca i suoi bond a cinquanta anni.

E tanto vi dovevo per la parte rendite.

Proseguo citandovi questo brano dall'Anteprima di Giorgio Dell'Arti (utilissima):


Tutto si può dire della valutazione espressa dalla Ragioneria dello Stato, ma non che non sia puzzling. Intendiamoci: quella che vi ho proposto io è esagerata, per un motivo evidente: ciò di cui bisogna tener conto per valutare il prezzo di un cespite non sono i ricavi (39 milioni), ma i guadagni, cioè quello che resta dei ricavi una volta sottratti i costi (per il personale, in particolare per il direttore; per la manutenzione, anche se quella straordinaria è "gratis"; per il servizio di biglietteria, e via dicendo). Il tema è complesso ed ha suscitato qualche legittima perplessità, tuttavia, per farla semplice, due calcoli back of the envelope ci dicono che mantenendo l'ipotesi circa il tasso di interesse, un valore attuale di 151,5 milioni di euro lo si ottiene ipotizzando un guadagno futuro pari a 4.24 milioni di euro all'anno, il che significa ipotizzare costi pari a un po' meno di 35 milioni all'anno (4.242/0.028=151.5).

Ora: spese di riscaldamento non ce ne sono, spese di condominio nemmeno... ma questi 35 milioni come andrebbero spesi?

In alternativa, si mantiene forse l'ipotesi che il 30% degli incassi vada comunque alla Soprintendenza (e quindi costituisca un costo per l'eventuale investitore privato)? In questo caso i ricavi sarebbero 39 meno il 30%, cioè 27.3, e quindi un guadagno di 4 implicherebbe altri costi pari a oltre 23 milioni l'anno.

Oppure chi ha fatto questa valutazione sa qualcosa che noi non sappiamo circa eventuali oggetti Apollo, e ha accorciato la sommatoria di conseguenza? O magari si aspetta che usciamo dall'euro e i tassi schizzino (si dice così) oltre il 25%?

Saperlo!

Magari se qualcuno di voi più bravino di me con le ricerche trova il testo originale di questa valutazione ce lo guardiamo insieme: sono sicuro che un motivo ci sarà e sarà interessante vedere quale sia.

Resta un fatto: in mezzo a così tanta, tantissima incertezza, esasperata, fra l'altro, dal fatto di non avere un governo nel pieno dei suoi poteri, pubblicare (che non significa: "fare") una valutazione simile non mi sembra un capolavoro di opportunità politica. Ci sono così tante polemiche in corso sulla svendita del patrimonio pubblico: abbiamo appena smesso di commentare la simpatica operazione di spin lanciata da quello che parlava di torri di monetine, a supporto della proposta del governo di alienare beni demaniali... Ora: siamo d'accordo che Colosseo e Fontana di Trevi sono cedibili solo in un film di Totò. Ma siamo anche d'accordo sul fatto che la classe politica che stiamo accompagnando, per quanto riottosa, a una meritata e rapida estinzione, ci ha fatto e ci sta facendo sempre più rimpiangere Totò. Quindi, forse, di argomenti simili sarebbe meglio non parlare, o almeno non ora. In subordine, sarebbe opportuno parlarne in modo trasparente e tecnico.

Questo post è stato appunto scritto per offrire ai proprietari del Colosseo, cioè a tutti gli italiani (lo so, è una parolaccia), strumenti per comprendere la logica di certe valutazioni tecniche.

Si apra la discussione...


(...ah, naturalmente per tutti tranne che per Martinetus: anche rendite e svendite sono dattili. No, Davide, non datteri: dattili. E googlateli, cazzo!...)

18 commenti:

  1. Propongo, un immediato colpo di stato. Ovvero finire quello che i Savoia hanno iniziato: riprende ci la Città del Vaticano. Chissà quanto valutano la Pietà di Michelangelo.

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  2. La donna è mobile, e ragioniera

    (Alessandra/Cassandra da Firenze. Non sono ragioniera)

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  3. Prof. Niente da dire. Lei è la luce che ci illumina il cammino. O la stella polare!!! Bye. GILA

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  4. ....la stima poi non tiene conto del lato affettivo.....https://www.youtube.com/watch?v=dYFeZzmknQg

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  5. "perché temono che il rialzo dei tassi di interesse ... determini un calo del valore di portafoglio dei loro sudati Btp (e quindi i giovani disoccupati si fottano)."

    Capisco che l'interlocutore era uno di quei 'piddini doc' (aspirante rentier) che non posseggono manco la casa in cui abitano e che hanno impegnato tutti i loro risparmi in attività finanziarie....

    Analoghe considerazioni (semplificate) si possono applicare al cespite "casa di abitazione" (per capire in cosa si differenzi - se differenze ci sono - rispetto al "sudato Btp").

    Quanto vale l'appartamento in cui si abita (se di proprietà)?

    Se l'immobile fosse in grado di generare - diciamo cinquemila all'anno di affitto - al netto delle tasse, delle spese di manutenzione ordinaria (e degli accantonamenti per le future spese di manutenzione straordinaria), allora varrebbe R/i = 10.000/0,028 = 178 mila (circa).

    Nel contesto deflazionistico conseguente al cambio fisso gli affitti però (come i redditi da lavoro, i.e. quota salari) calano inesorabilmente nel tempo, innescando la caduta (iniziata nel 2008 ed apparentemente senza fine) anche del valore degli immobili di abitazione.

    Quindi con l'eurone le case dei lavoratori (che sono una parte del risparmio delle famiglie) si svalutano in una spirale apparentemente senza fine mentre il risparmio finanziario si mantiene (in rapporto al risparmio immobiliare si rafforza) grazie ai tassi artificiosamente molto bassi.

    In caso di ritorno al cambio flessibile, ci sarebbero di nuovo le condizioni per la ripresa sia dell'inflazione che dei redditi da lavoro (in fondo l'inflazione e' un termometro molto sensibile di quanto la quota salari cresce di più della produttività), quindi anche un presumibile aumento del valore degli immobili (perchè - ma andrebbe comunque verificato meglio - mi ricordo che negli anni settanta, ottanta e novanta, R aumentava molto più di i nella formula degli anni futuri).

    Se però si convince l'interlocutore 'piddino' che non c'è nessun motivo per cui 'i tassi debbano schizzare' col ritorno al cambio flessibile, allora è anche facile dimostrare che si può difendere sia il risparmio immobiliare che quello finanziario (magari un pò meno) e contestualmente ritornare sul sentiero della piena occupazione (cioè della democrazia vera, quella della Costituzione Repubblicana).

    Mi pare che il modello di a-simmetrie non preveda 'tassi che schizzano', vero?

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    1. mi pare tu stia trascurando un altro regalo dell'Unione Europea, l'IMU o ICI (l'ennesima simpatica iniziativa, dopo la stupenda IVA, sempre ideata dalla CEE per tassare di più i più poveri, ma senza che se ne accorgano...).
      Un immobile che valga sui 180m e che tu affitti (e quindi non è prima casa) richiederà il pagamento allo Stato di un pizzo perlomeno sui 1500-2000 euro, togli qualche spesa e dei 5000 non te ne rimangono molti.
      Quindi oltre a ritornare al cambio flessibile dovremmo forse liberarci di alcuni generosi regalini...

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  6. La formula del valore attuale credo d'averla dedotta quando
    ho compreso che cosa significa:

    e=lim (1+1/n)^n per n->∞
    (visto che per spiegarla si usa la formula dell'interesse composto)

    Ma le propongo un altro banale argomento (o più precisamente , una sconfortante considerazione):

    Il problema, come ti spiegheranno altri, è quando hai bisogno di finanziarti ed i tuoi bond in moneta sovrana non li compra nessuno. È lì che tocca emettere in valuta straniera.

    Mi domando se chi ha commentato fosse anche in grado di comprendere non solo l'imprecisione linguistica, ma anche gli errori fondamentali sottostanti.
    Nessuno ha fatto le più semplici delle obiezioni:
    1) "Per quali finalità uno stato sovrano - ma anche un'azienda privata od una banca sovranazionale (EIB, BIRS) - emette obbligazioni denominate in valuta straniera?"
    2) "Che cosa è un'obbligazione? e cosa comporta per i sottoscrittori?"

    etc., etc....
    Il pensiero critico sembra defunto.

    Requiem aeternam dona eis. Domine,
    et lux perpetua luceat eis.


    Che Dio mi guardi dagli amici, perché dai nemici mi guardo io.

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  7. For its guidance, Amazon expects net sales between $56 billion and $60.5 billion for the fourth quarter, and operating income between $300 million and $1.65 billion.

    Capitalizzazione in borsa: 571,55 B$
    (vabbe', qui si valutano le informazioni)

    Però qui no:
    Whole foods (acquistata da Amazon per circa 15 B$): $21 million in operating income.

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  8. Alla voce SVENDITA possiamo soprattutto aggiungere tutte le forme di TASSE PATRIMONIALI introdotte in Italia: IMU, TASI, BOLLO SUI DEPOSITI TITOLI.
    Servono a svendere il risparmio degli italiani alla causa europeista. Peggio di così non si può essere governati. I tedeschi lo sanno e ridono.

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    1. "[le tasse patrimoniali] Servono a svendere il risparmio degli italiani alla causa europeista."

      Attenzione, occorre mettere le odiatissime tasse T nel contesto macroeconomico per orientarsi e capire, perchè sono solo una delle variabili dei saldi settoriali.

      http://albertobagnai.it/wp-content/uploads/2016/02/Sectoral-balances-and-financial-crises.pdf

      Nel caso del risparmio S (sia immobiliare che finanziario e PREVIDENZIALE) non ci aspetta una svendita, ci aspetta l'esproprio!

      Infatti:

      a) (G-T) è ormai prossimo a zero (pareggio di bilancio in costituzione) e comunque, in questo regime di pareggio imposto dal capitale finanziario, per via dei diversi moltiplicatori fiscali (più di 1,5 per G e circa 1 per T), un aumento di tasse T provoca sempre meno danni al PIL di una diminuzione di spesa G.

      b) (X-M) sarebbe già tanto se nel 2018 rimanesse quello del 2017.

      c) Riguardo (S-I): gli investimenti I non aumentano e non potranno aumentare, perchè langue ogni aspettativa di guadagno, e solo la propensione marginale al risparmio aumenta (ma per la paura del futuro, per cui c'è eccesso di S).

      Quindi è il combinato disposto di cambio fisso e pareggio di bilancio che rende ora ineluttabile l'esproprio del risparmio dei lavoratori italiani (uccidere S per far diminuire (S-I) e quindi per dare un altro calcio al barattolo EU e procrastinare la fine dell'euro)!

      Concentriamoci quindi sulle elezioni del 2018 e sul modo più sicuro per infliggere il massimo danno possibile alla EU (cosa che corrisponde oggi a difendere l'interesse nazionale).

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    2. L'esproprio del risparmio agli italiani và di pari passo con l'esproprio della moneta; la prossima tappa pare sarà l'eliminazione del contante allo scopo di raggiungere l'aureo obiettivo della tracciabilità di ogni rapporto economico; di fatto si realizzerà l'annullamento della indipendenza economica e finanziaria di ogni persona (ultimo sintomo di tale desiderio è il recente divieto di pagare gli stipendi in contanti, anche se in realtà ha poco senso pratico poichè già ora essi sono pagati largamente tramite moneta elettronica).
      Pare che lo scopo ultimo sia instaurare una società basata sul debito e sul controllo telematico della vita economica degli individui, la fantomatica “cashless society, a system in which all financial wealth is electronic and represented digitally in the records of a small number of megabanks and asset managers”.
      Questa è una strategia presente a livello mondiale.....basta vedere il tentativo del Governo dell' India nell'Ottobre 2016 quando si dichiararono le banconote da 500(ca. 7 Euro) e 1.000(ca. 14 Euro) fuori corso legale.
      La follia è che gli Stati siano Governati da politici che appoggiano questa strategia, ispirata dal settore bancario, abdicando al controllo della moneta e per questa via al finanziamento delle funzioni dello Stato di cui sono membri. Siamo veramente caduti in un abisso cognitivo senza uguali.

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  9. Come dice un caro amico storico dell' arte, per la partecipazione all' eurozona, l' Italia doveva essere pagata profumatamente per i suoi inestimabili tesori artistici anche in previsione di renderne impossibile la svendita; ma qui siamo in mani di amici fidati come Mario Draghi, collaudato venditore di vecchia data, come insegna l' evento del Britannia.
    Comunque l' impatto di un asteroide distruttivo è evento quasi impossibile in Italia, come attestato dalla mappa inserita in questo studio (ultimi 2 miliardi di anni); a occhio e croce mi sembra che la Germania sia più a rischio.
    La mia ipotesi sullo scarso valore dato al Colosseo è che per venderlo ai cinesi o agli americani, va smontato e rimontato a casa di chi lo compra ed i costi dell' operazione sarebbero enormi. Invece se resta dove è, il valore è dato a prezzo di saldo come si fa per le aziende italiane ed i patrimoni immobiliari degli italiani, svenduti alla Germania secondo il solito criterio di radere al suolo l' economia del Paese (vedi Anschluss) e poi metterlo in vendita insieme al resto, con una Treuhandgesellschaft ad hoc sulla falsariga di quanto perpetrato con la ex DDR prima e con la Grecia poi

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  10. Il documento dal quale è stata tratta la notizia è il seg.:

    Il patrimonio dello Stato: informazioni e statistiche, pg. 102 prima riga della tavola di dettaglio.

    Esiste anche la versione in formato Excel a questo link:

    PS-2016-Tavole_elaborabili, Tav. D1, Riga 182

    Non ho trovato i metodi di calcolo per la stima.
    Ma confesso di non essermi letto tutte le 160 pp.

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  11. P.S. Per quanto riguarda il metodo di stima del valore dei beni artistici, di ufficiale sul sito della Ragioneria Generale dello Stato non ho trovato nulla.

    In compenso ho trovato questo link:

    Benedetto Manganelli, Valutazioni economico-estimative nella valorizzazione di edifici storico-architettonici, AESTIMUM 51, Dicembre 2007: 21-42

    che mi astengo dal commentare perché non ho le competenze necessarie.

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  12. «In Italia, oggi, gli strumenti con cui vengono gestititi i beni culturali sotto il profilo inventariale/patrimoniale
    sono due, invariati dal 1927 (Regolamento R.D. 26-8-1927, n. 1917 e successive istruzioni 31-5-1928):

    1) il registro cronologico di entrata e il catalogo (comunemente detto “inventario”);
    2) la dichiarazione annuale delle variazioni patrimoniali dei beni17 (effettuata con un apposito modulo, il modello 15 RGS).
    »
    Elizabeth Jane Shepherd, Situazione attuale e nuove proposte per la gestione degli inventari e del valore patrimoniale dei
    beni archeologici dello Stato.


    Spero che l'informazione sia pertinente con quanto da Lei richiesto.

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  13. È che la Ragioneria, essendo previdente, prevede la rottura dell'eurozona, mentre, non essendo in grado di stimare i costi per mancanza di rendicontazione certa, considera solo i ricavi (pari a 39 M).
    Quindi, dovendo comunque svendere a 151,5 M per ordini superiori e considerando lo schizzamento pazzesco dei tassi a lungo dell'Italia in caso di fuoriuscita, sconta il tutto al "prudente" tasso (schizzato) del 25,74%!
    Scusate la battuta e la facile ironia, ma fanta-valutazioni di questo tenore potrebbero benissimo corrispondere ai loschi interessi di una classe dirigente pelosa che ha completamente tradito il proprio paese.
    Non credo più alla buona fede dell'incompetente (qualora lo fosse), perlomeno a certi livelli. E a certi livelli, anche se si fosse incompetenti sul come fare, si hanno però ben chiari i propri scopi e i relativi obiettivi da raggiungere, qualunque essi siano.

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  14. Gran bella lezione di matematica finanziaria!
    Per la valutazione aziendali non c'è solo il metodo reddituale ma tanti metodi tra cui quello finanziario (che attualizza i flussi di cassa) e quello patrimoniale che. Chissà com'è stata fatta quella valutazione.

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