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domenica 8 novembre 2015

Crescita neoclassica for dummies

(...che poi sareste voi. Se almeno sapeste le equazioni differenziali, questo post avrei potuto scriverlo in cinque righe. Ma per le prossime asfaltate mi tocca farvi studiare un po'. Non sopporto il senso di solitudine che mi opprime nel pensare che solo io capisco quanto sono coglioni certi miei "colleghi". Siete maggiorenni, è ora che lo sappiate anche voi...)



Si apre una settimana pesante per me, ma anche per voi. Siamo alla vigilia del nostro compleanno, dove saremo più del solito. Resta ancora una cinquantina di biglietti, nel caso ci vogliate pensare all’ultimo minuto (come è sempre stato negli anni scorsi, quando però la sala era più piccola, e qualcuno, ahimè, è stato frustrato…). C’è molto da organizzare, ma c’è sempre anche molto da studiare, per me, e anche per voi. Quest’anno mi sono messo nella sessione “tecnica” della domenica mattina, e dopo lunga riflessione ho deciso di parlarvi del mio ultimo lavoro su vincolo esterno e declino dell’economia italiana. Voi lo conoscete abbastanza bene, perché è frutto di una riflessione comune, che è partita due anni fa, il primo maggio, ragionando sulle relazioni fra declino, produttività, flessibilità del mercato del lavoro e euro. Il succo del lavoro è sostanzialmente tutto lì, ma questo non è un blog per turisti, e quindi mi piacerebbe guidarvi a un livello di approfondimento tecnico superiore. Per questo è necessario approfondire il modello di crescita post-keynesiano, basato sul concetto di vincolo esterno. Nel mio ultimo lavoro mostro come questo vincolo esterno in Italia si sia andato progressivamente stringendo, comprimendo la dinamica della nostra produttività. Questo fenomeno fornisce l’unica spiegazione del declino dell’economia italiana coerente con i dati osservati (mentre le favolette sul “nanismo” delle imprese, sul “familismo amorale”, su castacriccacoruzzzzione, sulla superiorità dell’etica calvinista, e via minchieggiando, hanno fra l’altro il difetto non trascurabile di non spiegare perché la produttività dell’economia italiana si arresti proprio nel 1997: un’etica non si costruisce, né si distrugge, in un anno). Anche di questo vi ho già parlato, ma da dire rimane molto. Dopo cinque anni nei quali sento denigrare come “teorie di Bagnai” gli argomenti di Feldstein, Meade, Kaldor, Krugman, ecc., e dopo altrettanti anni di battaglie per chiarire che su tanti temi io non ero particolarmente originale (mentre erano particolarmente “smemorati”, come avrete capito, i colleghi, quelli che non riescono proprio a ritrovare il paper proeuro…), magari avrei piacere di chiarirvi quali sono i due o tre aspetti originali del mio lavoro.

Uno ve l’ho già messo in evidenza. Il mio ultimo articolo chiarisce che la deindustrializzazione causata dal cambio sopravvalutato prima, e dall’austerità poi, necessariamente aumenta la dipendenza del paese dai prodotti esteri, cioè l’elasticità delle importazioni al reddito, rendendo ancora più stringente il vincolo esterno. Ve ne ho parlato qui, come ricorderete (forse). La morale della favola è che quanto più l’austerità si protrae, seguita dalla inevitabile chiusura di aziende (la distruzione creatrice che piace tanto ai liberisti che si credono leoni, e invece…), tanto più la fine dell’austerità, se e quando arriva, si traduce in un maggiore incremento di importazioni (perché i beni che servono a cittadini e imprese devono necessariamente provenire dall’estero, visto che all’interno non si producono più), e quindi in un deficit di bilancia dei pagamenti con connesso aumento dell’indebitamento estero. E il ciclo ricomincia, ma su un livello di crescita più basso…

Poi, modestamente, avrei contribuito al pensiero post-keynesiano mettendo in risalto il fatto che la dinamica dei prezzi relativi (e quindi del tasso di cambio reale, cioè del rapporto fra prezzi interni e esteri) è rilevante anche per la crescita di lungo periodo. I keynesiani, porelli, sono anche loro ideologici, dobbiamo dircelo. Purtroppo non esiste ideologia buona, perché l’ideologia è nemica del pensiero. Come vi ho detto tante volte, l’ideologia post-keynesiana procede dal fatto che nel modello del “nemico” (quello neoclassico) i prezzi contano. Quindi, se sei post-keynesiano, i prezzi non devono contare. Ma il mondo non funziona così. Per parlarvi di questo, però, mi servono i vostri amici logaritmi, quindi me lo tengo per dopo.

Oggi volevo parlarvi di un’altra cosa, del modello di crescita neoclassico (quello del nemico, appunto). Ho già fatto cenno ad alcune sue caratteristiche strutturali: per esempio, in Crisi finanziaria e governo dell’economia, parlandovi delle tre leggi dell’omodossia (rendimenti decrescenti, remunerazione proporzionata alla produttività, legge della domanda e dell’offerta). E vi ho già proposto un confronto empirico (dichiaratamente sommario) fra questo modello e quello post-keynesiano.

Tuttavia un approfondimento tecnico è necessario anche in questo caso. Chiarisco subito il punto, a scanso di ovvi e ricorrenti equivoci. Il modello di crescita neoclassico è uno strumento standard di analisi economica: ogni economista, se non lo usa, quanto meno sa come è fatto. Se qualcuno parla di crescita ignorando la struttura di questo modello, non è un economista (e quindi se si propone come tale è disonesto, e se non si propone come tale è ridicolo, come il simpatico camel fucker che ho incrociato su Twitter). Ora, il punto è che gli economisti euristi (spiacevole ossimoro) per la maggior parte appartengono al fronte “omodosso”, cioè neoclassico. Uno dei dettagli che fanno la delizia dell’intenditore è che questa armata Brancaleone, per difendere la propria adesione ideologica all’euro, ricorre ad analisi che contraddicono le fondamenta del proprio pensiero. Alcune di queste contraddizioni sono immediatamente percepibili, anche a un livello non tecnico. Ad esempio: perché mai un liberista dovrebbe essere così accanitamente contrario all’esistenza di un mercato (quello dei cambi)? Altre, purtroppo, sono accessibili solo a chi faccia un minimo sforzo per approfondire alcuni risvolti tecnici. Uno dei quali è, appunto, la teoria della crescita neoclassica, che è indispensabile conoscere non perché sia di per sé preferibile a quella post-keynesiana, ma semplicemente perché conoscendola è possibile utilizzarla per smontare le sconclusionate ed ideologiche tesi dei nostri avversari (che ad essa si rifanno, senza però applicarla in modo coerente).

Apro e chiudo una parentesi per sottolineare un dettaglio che a volte sfugge.

Il successo di questo blog e della mia attività di divulgazione è dovuto al fatto di aver dimostrato che non è necessario essere (o ostentare di essere) “eterodossi”. Il ragionamento “omodosso” si smonta da sé, perché non è coerente con se stesso, in quanto meramente ideologico (o opportunistico, come nei tanti casi di persone che hanno detto “bianco” finché gli è convenuto, e “nero” dopo), e quindi si nutre di salti logici. Si possono tranquillamente utilizzare strumenti da libro del primo anno, senza scomodare Marx o Keynes, per distruggere gli europirla. Questo non vuol dire né che Marx o Keynes siano inutili, né che i libri del primo anno esauriscano tutta la scienza economica. Vuol dire solo che spesso è una strategia dialetticamente efficace combattere il nemico con le sue stesse armi (spuntate): non potrà contestarvi sul piano metodologico, e verrà messo di fronte alla ridicolaggine delle proprie contraddizioni.

Principi
Il modello neoclassico di crescita, nella sua versione più semplice, si basa sul principio dei rendimenti decrescenti: i fattori di produzione sono più produttivi laddove sono più scarsi. Il principio una sua plausibilità ce l’ha: se due uomini devono scavare una buca, la loro produttività a mani nude è bassa, con una vanga cresce, con due cresce ancora, con tre non cresce più (salvo aggiunta di un paio di braccia supplementari a uno dei due). Quindi le prime dosi di capitale-vanga hanno produttività maggiore dell’ultima (nota: qui per capitale intendiamo il capitale fisico, cioè lo stock – dotazione – di beni strumentali: macchinari, attrezzature, mezzi di trasporto). Tralascio il fatto, qui citato per vostra erudizione, che l’idea dei rendimenti decrescenti, per quanto plausibile, è da tempo soggetta a revisione in letteratura. In effetti, esistono anche le economie di scala, con implicazioni su aspetti che vanno dal commercio internazionale (e la loro analisi rese Kruggy famoso nel lontano 1979), alla teoria della crescita, studiata da Paul Romer (l’amico di Boldrin). I paper ci sono, chi li vuole se li legge, oggi sto sul semplice, e mostrarvi che esiste altro mi serve a far capire ai dilettanti che, appunto, c’è dell’altro.

Il modello neoclassico si basa, ovviamente, sul solo lato dell’offerta/produzione (per i neoclassici/libberisti la domanda non conta, perché è l’offerta a creare la propria domanda: il reddito distribuito come risultato del processo produttivo viene necessariamente speso assorbendo la produzione posta in essere). Il messaggio fondamentale del modello è che economie a diversi livelli di sviluppo (misurato dal reddito pro capite) tenderanno a convergere verso il medesimo livello di sviluppo (convergenza). Questo perché le economie meno sviluppate sono tali perché hanno una dotazione di capitale scarsa. Ma, proprio per questo, in esse il capitale è molto produttivo (rendimenti decrescenti). Quindi, in queste economie, il capitale a parità di quantità di fattore lavoro produce relativamente più reddito/prodotto (in un’economia di mercato il prodotto corrisponde a un reddito, perché si produce per vendere). Siccome stiamo ragionando a parità di stock di lavoro (cioè di bocche da sfamare, ovvero di livello di consumo aggregato), nelle economie arretrate il maggior reddito prodotto si traduce in un flusso comparativamente maggiore di risparmio, e quindi di investimento (cioè di spesa per acquisto di beni capitali), il che determina un aumento dello stock di capitale. Alla fine del ciclo, l’economia “arretrata” si trova a disporre di più macchine, e quindi i suoi lavoratori sono più produttivi: il reddito pro capite aumenta, l’economia arretrata è meno arretrata, e il ciclo ricomincia, fino a quando tutte le economie non hanno il medesimo livello di capitale (e quindi di reddito) pro capite.

Prima di entrare nei dettagli, vi prego di tener presente il messaggio fondamentale: le economie arretrate hanno una tendenza endogena a crescere più in fretta, determinata dal fatto che in esse è più rapida l’accumulazione del capitale (perché il capitale “produce di più”, e quindi il sistema dispone di un maggior reddito da destinare a risparmio e investimento). Ripeto: le economie arretrate (minor reddito pro capite) crescono di più (maggior tasso di crescita medio). Quindi alla fine chi sta indietro recupera posizione (catch-up) e converge con chi sta avanti.

Fico, no?

Fine dei conflitti internazionali! Lasciate che il capitale (finanziario) scorra dove vuole per favorire l’acquisto da parte delle imprese di capitale (fisico), e alla fine staremo tutti ugualmente bene. Cosa che, peraltro, è sotto gli occhi di tutti.

E ora, un po’ di algebra.

La funzione di produzione neoclassica
Per i neoclassici, che sono offertisti, la testata d’angolo del modello è la cosiddetta funzione di produzione: una formula matematica che lega le quantità di “input” (i fattori di produzione) all’”output” (il prodotto). Questa relazione viene normalmente spacciata per puramente tecnica, e il motivo c’è: riducendo il processo produttivo a un dato tecnico, si elimina dalla scena qualsiasi riferimento al conflitto sociale. Comunque, prendiamo per buona questa storia. Dal punto di vista matematico, possiamo rappresentarla così:

Y = F( K, L )

che si legge: il prodotto (Y) è una funzione F del capitale K e del lavoro L; cioè, in pratica: quanto produci dipende da quante persone lavorano e da quante (e quali) macchine hanno a disposizione. Qui entra in gioco il discorso dei rendimenti di scala. Il modello standard prevede che essi siano costanti. Cosa significa? Significa che se moltiplichi per lo stesso numero gli input, anche l’output aumenta nella stessa proporzione.

In termini incomprensibili si scrive così:

zY = F( zK, zL )

cioè: se moltiplico Kapitale e Lavoro per z, otterrò z volte il prodotto iniziale. Per facilitare la vita ai diversamente algebrici lo scrivo così vi faccio un esempio con z = 2:

2Y = F( 2K, 2L )

che significa che se raddoppio il Kapitale (la quantità di macchine) e il lavoro (la quantità di occupati) raddoppio anche il prodotto. Ovviamente non sempre è così: la presenza di economie di scala può determinare rendimenti crescenti, per cui potrebbe capitare che:

3Y = F( 2K, 2L )

(raddoppiando gli input triplichi l’output: numeri messi assolutamente a caso, solo per farvi capire il concetto). Ora, considerando che nel mondo osserviamo una concentrazione progressiva del processo produttivo (le imprese tendono a fondersi, la struttura dei mercati è tendenzialmente oligopolistica), questo suggerisce che la presenza di economie di scala/rendimenti crescenti rischia di essere più la regola che l’eccezione. Però per il momento la teniamo da parte, perché i rendimenti costanti ci fanno molto comodo, semplificandoci la vita (e la vita dell’economista è, come sapete, così difficile: sta cazzo di realtà che proprio non vuole saperne di conformarsi ai modelli!).

In effetti, se i rendimenti di scala sono costanti, riusciamo a toglierci dai piedi una variabile.

E come?

Bè, pensate a cosa succede se come fattore di scala z prendiamo 1/L (uno diviso per il numero di lavoratori). Succede questo:

Y/L = F( K/L, L/L )

Ma L/L è uguale sempre a uno, cioè non è una variabile: è una costante. Quindi la funzione di produzione, nel caso di rendimenti costanti, diventa a due variabili:

Y/L = F( K/L )

Il prodotto pro capite dipende dal capitale pro capite. Quanto guadagna il lavoratore dipende da quante macchine ha a disposizione (i sindacati, come vedete, non c’entrano nulla). Per rendere la cosa più semplice, possiamo usare le lettere minuscole per indicare le variabili pro capite, e quindi:

y = Y/L

k = K/L

e così la nostra funzione di produzione, la testata d’angolo del nostro modello, diventa semplicemente:

y = F( k )

Certo che l’eleganza neoclassica non si batte! Vuoi mettere questa nitida formula con il fumo dei lacrimogeni?

Esempio
Dai, vi faccio un esempio numerico, così forse vi aiuto, o magari vi mando definitivamente nel panico.

Considerate questa funzione di produzione:

Cioè: il prodotto (inteso come output) è la radice quadrata del prodotto fra capitale e lavoro (cioè del prodotto degli input). E che significa? Bè, significa che se abbiamo K =2 e L = 2 (due unità di capitale e due unità di lavoro) il prodotto è due (perché 2x2 = 4, e la radice quadrata di quattro è due):


Questa funzione ha rendimenti costanti? Sì, e per vederlo basta raddoppiare capitale e lavoro, cioè portarli da due a quattro: 4x4 = 16, e la radice quadrata di 16 è?
Quattro! Quindi raddoppiando gli input è raddoppiato l’output.

Quindi questa funzione può essere espressa in termini pro capite? Certo. La cosa funziona così:
E, per esempio, nel secondo caso, con quattro di capitale e quattro di lavoro abbiamo che 4/4 = 1, e la radice quadrata di uno è uno, per cui, appunto:
Nota bene: la stessa cosa vale anche con due di capitale e due di lavoro:
Anche in questo caso il prodotto pro capite è uno. Il prodotto pro capite, ovviamente, aumenta se aumenta il capitale pro capite. Quindi, per dire, se il lavoro resta 2, ma il capitale passa da 2 a 8, allora:
(cioè se il capitale pro capite quadruplica, passando da uno a quattro, il prodotto pro capite raddoppia).

Torno a ribadire che i post tecnici li volete voi…

Disegnino
Dai, facciamo anche il disegnino, prendendo come riferimento l’esempio numerico. Non è difficile, si tratta di rappresentare la funzione
ovvero: il prodotto pro capite è la radice quadrata del capitale pro capite. Specifico, per chiarezza, che non deve sempre essere così. Questo è solo un esempio, scelto perché la sua semplicità (cos’è una radice quadrata più o meno lo sapete tutti) e perché nella sua semplicità rispecchia la caratteristica tipica di una funzione di produzione neoclassica: i rendimenti decrescenti, cioè la concavità. Che c’entra la concavità? Si vede dal disegnino:

Qui l’asse orizzontale misura il capitale pro capite, e quello verticale il prodotto pro capite.

Vi faccio notare che:

a) a un capitale pro capite di uno corrisponde un prodotto pro capite di uno:

b) a un capitale pro capite di quattro corrisponde un prodotto pro capite di due:

Fino a qui ci siamo, ma notate anche un’altra cosa: se aumento il capitale pro capite di una unità, da uno a due, il prodotto pro capite aumenta di 0.414214 (da 1 a 1.414214)

Quindi per k=1 la produttività marginale del capitale, cioè l’aumento di prodotto (pro capite) rapportato all’aumento di capitale (pro capite) è 0.414214/1 = 0.414214. L’aumento del prodotto, d’altra parte. Lo potete calcolare facilmente:
Se facciamo la stessa operazione per k = 4, andando a misurare di quanto aumenta il prodotto (pro capite) quando il capitale pro capite aumenta di una unità (cioè aumenta da 4 a 5), registriamo un aumento inferiore:


E il disegnino vi dovrebbe far capire perché:

In buona sostanza, la funzione di produzione è crescente (cioè: più macchine pro capite ci sono, maggiore è il reddito pro capite), ma muovendo verso destra (cioè verso una maggiore quantità di macchine pro capite) è sempre più schiacciata. La produttività marginale è decrescente: se portare il capitale pro capite da 1 a 2 fa aumentare il prodotto di 0.4 (arrotondando), portarlo da 4 a 5 fa aumentare il prodotto di 0.2 (circa la metà), cioè la produttività marginale, passando da k = 1 a k = 4 praticamente si dimezza. Potete calcolare da voi cosa succede per valori più elevati di k.
Il fatto che la produttività marginale decresca con l’aumentare del fattore di produzione considerato (qui il capitale pro capite, k) è appunto la traduzione “tecnica” della legge dei rendimenti decrescenti. In termini grafici, una funzione con questa proprietà sarà concava (verso il basso).

Riassumiamo fino a qui: più tecnologia (un maggiore k, capitale pro capite) fa stare meglio (un maggiore y, reddito pro capite), ma oltre un certo limite gli aumenti di k producono aumenti di y irrisori. Ora il problema diventa: posto che vogliamo stare meglio, dovremo incrementare k, cioè occorre che gli imprenditori acquistino più macchine, ovvero che ci sia un flusso di investimenti tale da garantire una sufficiente accumulazione di capitale. L’idea (nel modello neoclassico) è che gli imprenditori finanziano gli investimenti utilizzando, attraverso il circuito del mercato finanziario, i risparmi delle famiglie. Le famiglie, a loro volta, risparmiano se guadagnano, e guadagnano di più se l’economia è più tecnologicamente avanzata (k più elevato). Quindi tutto bene: più guadagni, più risparmi, più investi, più capitale accumuli, più guadagni, più risparmi, ecc. Questa è in effetti l’idea che del modello di crescita hanno i simpatici Savonarola che ci siamo tolti di torno fin dall’inizio, come ricorderete (e che hanno in comune col camel fucker il fatto di non sapere cosa sia il PIL).

Solo che il sistema non funziona così, perché le macchine si rompono…

L’accumulazione nel modello classico: investimenti lordi e netti
Cerchiamo di fare ordine, con un po’ di algebra.

Intanto, il modello è in economia chiusa, e possiamo immaginare che non ci sia settore pubblico (il sogno del libberista…). Se le cose stanno così, allora la produzione andrà o in consumi, o in investimenti:

Y = C + I

Questa relazione, come al solito, descrive l’equilibrio fra offerta di beni (Y, la produzione aggregata) e domanda di beni (la spesa delle famiglie in beni di consumo C, e quella delle imprese in beni strumentali, I, cioè gli investimenti lordi).

Come al solito, sottraendo al reddito i consumi otteniamo il risparmio: S = Y – C. La relazione di equilibrio può quindi essere espressa anche come:

S = I

ovvero: l’offerta di fondi (S) da parte delle famiglie (il loro risparmio) è uguale alla domanda di fondi da parte delle imprese per finanziare l’acquisto di beni strumentali (I, gli investimenti lordi).

Vale il solito discorso “keynesiano” (sì, nel modello neoclassico c’è un pezzo keynesiano…) secondo cui i consumi sono una proporzione costante del reddito. Quindi:

C = c Y

(c è la propensione marginale e media al consumo, come sapete) e di conseguenza:

S = Y – C = Y – c Y = (1 – c) Y

Diciamo che se in media il 70% del reddito va in consumi (cioè c = 0.7), allora il 30% andrà in risparmi. Ma in questo modello, che è chiuso agli scambi con l’estero, i risparmi possono essere investiti solo nel paese, cioè si trasformano tutti in investimenti nazionali. Gli investimenti nazionali quindi sono uguali a:

I = (1 – c) Y = S

Finora abbiamo lavorato su variabili pro capite, esprimendole in lettere minuscole. Diciamo allora che gli investimenti lordi pro capite sono uguali a i, e possiamo quindi scrivere:

i = (1 – c) y

Ricordiamo poi che y, il prodotto pro capite, è una funzione F del capitale pro capite. Possiamo quindi scrivere:

i = (1 – c) F(k)

Nota: possiamo anche fare un disegnino! Se, come suggerivo, la propensione al consumo c è 0.7, allora la funzione dell’investimento pro capite è uguale al prodotto pro capite moltiplicato per 1-0.7, cioè per 0.3. Una cosa di questo tipo:

dove il reddito (cioè il prodotto) è in blu, e gli investimenti sono il suo 30% (rappresentati in rosso).
Ora: gli investimenti sono acquisti di beni capitali da parte delle imprese. Questo significa, in linea di principio, che un flusso positivo di investimenti fa aumentare lo stock di beni capitali delle imprese, cioè che gli investimenti sono uguali alla variazione del capitale fisico. Posso allora scrivere:

No, non funziona così.

E questo perché in ogni ciclo di produzione una certa percentuale di macchinari si rompe, o diventa vecchia, ovvero, come dicono gli economisti, obsolescente. Quindi una parte del flusso di investimenti non va ad aumentare lo stock di capitale, ma semplicemente a rimpiazzare macchine (attrezzature, capannoni, mezzi di trasporto) obsolescenti. Questa parte è l’ammortamento, e possiamo pensare che una percentuale più o meno costante del capitale. Quello che fa crescere il capitale è l’investimento netto, cioè l’investimento lordo meno gli ammortamenti. Quindi in effetti l’accumulazione è regolata da un’equazione di questo tipo:
dove il delta minuscolo indica il tasso di ammortamento. Supponiamo che ogni anno vada rimpiazzato il 15% del capitale. Ovviamente se il capitale pro capite è 1, l’ammortamento (pro capite) sarà 0.15, ma se il capitale pro capite è 10, l’ammortamento sarà 1.5. Insomma: più macchine ci sono, e più siamo produttivi, però più macchine ci sono, e più macchine si rompono. Ci siamo?

Possiamo rappresentare anche l’ammortamento nel nostro grafico:

È la retta grigia.

Ora, attenzione. L’investimento lordo è una percentuale del prodotto lordo, che a sua volta è una funzione concava del capitale. In parole povere, al crescere del capitale (cioè spostandoci verso destra), l’investimento lordo (rosso) cresce, perché cresce il reddito (blu) e quindi il risparmio (uguale all’investimento per la condizione di equilibrio). Ma l’investimento lordo cresce a un tasso decrescente (la funzione dell’investimento, la curva rossa, si appiattisce procedendo verso destra).

L’ammortamento invece è una percentuale fissa del capitale: più macchine ci sono, più macchine si rompono, e questa relazione è inesorabilmente lineare,

Di conseguenza, come vedete, muovendo da sinistra (cioè dalla situazione in cui il capitale è zero) verso destra, inizialmente il risparmio lordo (la curva rossa) sta sopra all’ammortamento, poi diventa uguale (nel grafico questo succede quando k = 4), poi passa sotto.

Quindi, in una prima fase abbiamo:
Ovvero: l’investimento lordo (gli acquisti totali di macchine) sono maggiori degli ammortamenti (dei rimpiazzi di macchine) e quindi lo stock di capitale aumenta.

Poi si arriva in un punto in cui:
Ovvero, l’investimento lordo è uguale agli ammortamenti e quindi lo stock di capitale (pro capite) smette di crescere. Naturalmente, se un’economia, per qualsiasi motivo, si trovasse a essere sovracapitalizzata, succederebbe che:
Cioè gli investimenti lordi sarebbero inferiori agli ammortamenti, e quindi l’investimento netto sarebbe negativo, cioè lo stock di capitale diminuirebbe. Che significa? Significa che non ci sarebbero abbastanza soldi (risparmi) per sostituire tutte le macchine rotte. Questo, nel grafico, accade nei punti a destra di 4.

La morale della favola è che, data una certa tecnologia, caratterizzata da una certa funzione di produzione e da un certo tasso di ammortamento, il sistema tenderà naturalmente a un certo valore di stock di capitale pro capite (cioè di k), quello al quale l’investimento netto diventa naturaliter pari a zero e quindi il capitale pro capite (e il prodotto pro capite) smettono di crescere.

Quel punto è quello che in economia della crescita si chiama un equilibrio di stato stazionario, o di crescita bilanciata.

Per capire come funziona la storia possiamo considerare cosa succede a un paese “arretrato”, il cui stock di capitale, cioè, non sia ancora arrivato allo steady state (stato stazionario).

Lo vedete in questo grafico:
All’anno zero abbiamo un capitale k0, cui corrisponde un reddito y0, e un investimento lordo superiore all’ammortamento. L’investimento netto quindi è positivo, ed è il segmento verde che va dalla retta grigia alla curva rossa. Nel corso dell’anno zero il capitale aumenterà in pari misura, fino al punto k1, cui corrisponde un reddito (pro capite) y1. In k1 l’investimento lordo è ancora maggiore dell’ammortamento, ma un po’ di meno, cioè l’investimento netto è inferiore a quello dell’anno precedente. Il capitale (pro capite) quindi crescerà, ma un po’ di meno, arrivando in k2. E via così: il ragionamento l’avete capito, il disegnino ve l’ho fatto.

Steady state e dinamiche di transizione
Ovviamente, finché un’economia è “a sinistra” del punto di stato stazionario, il suo reddito pro capite crescerà, con una caratteristica: la crescita sarà più rilevante nelle economie meno capitalizzate, per il duplice motivo che in esse il capitale è più produttivo (la funzione di produzione non si è ancora “schiacciata”) e gli ammortamenti sono relativamente pochi (non ci sono molte macchine che possano rompersi), per cui l’investimento netto è piuttosto sostenuto. Detto in un altro modo, i paesi più poveri (con y più basso perché k è più basso) tenderanno naturaliter a crescere più in fretta. L’ultimo grafico lo mostra bene: l’incremento di y fra il tempo zero e il tempo uno è maggiore di quello fra il tempo 2 e il tempo 3.

Un’ultima osservazione: e quando si arriva allo stato stazionario? Non si cresce più?
Attenzione! Il modello è espresso in termini pro capite, e ipotizza una tecnologia costante. Questo significa due cose. La prima è che in stato stazionario non cresce più y, ma Y, se i lavoratori L aumentano, cresce. In altre parole: la stazionarietà del reddito pro capite non è stazionarietà del reddito assoluto: se la popolazione cresce, affinché il reddito pro capite rimanga costante, evidentemente il reddito deve crescere. La seconda cosa è che c’è il progresso tecnico. Se le macchine “migliorano”, i lavoratori diventano più produttivi e guadagnano di più. Un miglioramento delle macchine potete quindi immaginarlo come una rotazione verso l’alto della funzione di produzione (ma ci sono modi meno barocchi di rappresentarlo: per oggi teniamoci questo mondo a tecnologia costante).

La morale della favola quindi è che c’è crescita del PIL anche in stato stazionario, una crescita determinata da demografia e da progresso tecnico. Il punto, però, è che prima di raggiungerlo la crescita è comunque più rapida, perché determinata da tre fattori: demografia, progresso tecnico, e catch-up, cioè adeguamento dello stock di capitale (per via del flusso positivo di investimento netto), come abbiamo visto nell’ultimo grafico.

Questo fatto stilizzato è conforme alla logica del modello ed è quindi del tutto fisiologico. Un economista (omodosso) non dovrebbe stupirsi del fatto che un’economia a basso reddito cresca rapidamente, e non dovrebbe nemmeno stupirsi del fatto che, diventando più ricca, la stessa economia tenda a mostrare dei tassi di crescita meno sostenuti. Ripeto: è fisiologico. Del resto, anche voi siete cresciuti del 100% entro il vostro quinto mese di vita, ma er Palla entro il terzo, e perché? Perché pesava due chili. Chiaro il concetto? Per chiarirlo meglio: provate a pensare di raddoppiare il peso entro febbraio! Sarebbe una buona cosa? Sarebbe fisiologico? Possibile forse sì (con Natale di mezzo), ma buono direi di no.

Quindi, come dire, la metafora espressa dal modello di crescita neoclassico una sua plausibilità, direi una sua “naturalezza”, ce l’ha.

Eppure, come vedremo nelle prossime puntate, sono proprio gli economisti neoclassici a non venire a patti con questa semplice, naturale caratteristica del loro modello. In particolare, alcune fra le più abominevoli minchiate sul declino dell'economia italiana sono state dette da persone che utilizzavano questo modello senza capire troppo bene come funzionasse.

E voi, l'avete capito?

44 commenti:

  1. Oh grazie. E... si potrebbe anche avere la riduzione in eq differenziali? :)

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    Risposte
    1. Ok, chiedo scusa, si può scrivere, l'eq: kdot = (1-c) F(k) - delta k = 0 per stato stazionario. Che ci dice

      kstazionario/F(kstazionario) = (1-c)/delta

      Cioè se delta=0 (no ammortamento) k va a infinito giustamente
      e se c=1 (tutto viene consumato) allora k limite è zero.
      (A meno che F non riservi soprese, va be.)

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    2. Invece una domanda (magari veramente naive, ma chi non chiede rimane ignorante):
      Quanto (non) è vero che S=I? Cioè che tutti i risparmi vanno in investimenti? Non c'è una parte che se ne va in prodotti finanziari di fatto non produttivi, anche in un sistema chiuso? E magari diventa parte consistente, quando i profitti naturalmente scendono. Se ha senso - siamo già oltre l'analisi classica?

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    3. "Quanto (non) è vero che S=I? Cioè che tutti i risparmi vanno in investimenti?"

      Per rispondere alla domanda credo possano aiutare questi post di Paul Krugman (che ci mette in guardia sia dall'abusare delle identita' contabili che dalla 'doctrine of immaculate transfer').

      http://krugman.blogs.nytimes.com/2012/01/16/mistaken-identities-wonkish/?_r=0

      http://krugman.blogs.nytimes.com/2010/04/06/immaculate-transfer-strikes-again/

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    4. Grazie Luca - vedo. E se capisco [con disclaimer impliciti...]

      - nel primo articolo si preoccupa di violazioni di S=I ma solo transitorie

      - nel secondo ne parla riguardo a sbilanciamenti tra stati e riflesso sull'exchange rate.

      Ma nel globale e/o a regime, si ritiene sempre S=I valido. Giusto?

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    5. "My two cents"

      A livello planetario la "identita' contabile" S = I e' sempre verificata, a patto di contabilizzare anche le scorte come investimenti, cioè come spesa.

      Ma le scorte possono essere desiderate o indesiderate.

      La presenza di scorte non desiderate (tipo le citta' fantasma della Cina) è IMHO segnale di una situazione di non equilibrio.
      I soggetti economici cambieranno comportamenti.

      La domanda allora è: i mercati finanziari sono in grado di coordinare risparmi e investimenti in modo che anche l'uguaglianza di domanda aggregata e PIL (AD = Y) sia un equilibrio e non solo una identità contabile?

      Con riferimento al lungo periodo (in cui tutti saremo certamente morti), la risposta al quesito si dice sia positiva, perche' il risparmio si risolve interamente in offerta di fondi mutuabili, gli investimenti si risolvono in domanda di fondi mutuabili, e il mercato dei fondi mutuabili è perfetto.

      In un contesto simile si dice pure che il prezzo dei fondi mutuabili - cioè il tasso di interesse reale - consentirà di equilibrare risparmi e investimenti.

      Ma oggi Paul Krugman parla pure insistentemente di 'natural interest' (in gran parte del mondo) prossimo allo zero, per cui il tasso di interesse reale (ove supposto positivo) non puo' che derivare da pura deflazione (compressione quota salari).

      La mia impressione e' che ormai una parte non piu' trascurabile della produzione mondiale finisca in 'scorte indesiderate', contabilizzate come investimenti, nella speranza che per miracolo l'inflazione riparta per ottenere un rendimento reale sufficiente a pagare almeno gli interessi sullo stock di debito....

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  2. Messo in questi termini non capirlo è difficilissimo.

    un saluto.

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  3. "Ora, considerando che nel mondo osserviamo una concentrazione progressiva del processo produttivo (le imprese tendono a fondersi, la struttura dei mercati è tendenzialmente oligopolistica), questo suggerisce che la presenza di economie di scala/rendimenti crescenti rischia di essere più la regola che l’eccezione."

    Parliamone.
    In Italia, per esempio, nonostante tutti gli attacchi subiti, il modello della piccola e media impresa continua ad avere ottimi risultati. Anche a livello di esportazioni.

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    1. Guardi, a occhio è il suo primo commento. Lezioncine no, grazie. Se c'è qualcosa che non ha capito, chieda. Altrimenti si prenda tutto il tempo che le serve per capire con chi ha a che fare, ad esempio cliccando sui link. Così capirebbe che sta posando il piede su una cosa che comincia per m ma non finisce per erda. Magari! Buona lettura e niente di personale.

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    2. Ah, scusi, ho dimenticato il "gentile lettore". E finisce in ina.

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    3. @ Lorenzo Rossi

      C'è una versione puškiniana del celebre aneddoto riferito da Plinio il Vecchio:

      “Una volta un calzolaio esaminava un quadro,
      E indicò uno sbaglio nei calzari;
      Subito l'artista, prendendo il pennello, si corresse
      Allora, coi pugni sui fianchi, continuò il calzolaio:
      « Mi pare che il viso sia un pochino storto...
      E questo seno non è troppo nudo? »
      Ma Apelle lo interruppe impaziente:
      « Non giudicare, amico, più su della scarpa! »

      E c'è anche questo.
      Bello! Che ne dici?

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    4. "The Great Merger Movement was a predominantly U.S. business phenomenon that happened from 1895 to 1905. During this time, small firms with little market share consolidated with similar firms to form large, powerful institutions that dominated their markets. It is estimated that more than 1,800 of these firms disappeared into consolidations, many of which acquired substantial shares of the markets in which they operated. The vehicle used were so-called trusts. In 1900 the value of firms acquired in mergers was 20% of GDP. In 1990 the value was only 3% and from 1998 to 2000 it was around 10–11% of GDP. "

      https://en.wikipedia.org/wiki/Mergers_and_acquisitions#History

      Ma che ve lo dico a fare, a voi che non capite una sega ? :-)

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  4. Il metodo Juncker applicato all' economia italiana ha funzionato; sta morendo senza rendersene conto e la curva f(k) è in modo abbastanza evidente, a pendenza negativa, direi anche piuttosto evidente.
    Le economie a reddito alto, in eurozona sono tutte in stasi, soprattutto dopo le cure delle cosidette riforme; ora tu dimostri che:

    "La morale della favola quindi è che c’è crescita del PIL anche in stato stazionario, una crescita determinata da demografia e da progresso tecnico"

    Ergo in UEM non c' è né crescita demografica (o poca) né tantomeno progresso tecnico,iI motivi li conosciamo perchè li abbiamo via via, esposti qui. Ma qualcuno ha detto e qualcuno dirà ancora che c' è bisogno di riforme; è stato ancora fatto troppo poco!

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    1. Dimenticavo, anche Belgio, Francia, Olanda, ma non la Germania; avendo perso un paio di milioni di residenti nel periodo, (da 82,5 a 80,5 MLN) credo che almeno abbiano speso per aggiornare gli impianti a scapito dei concorrenti (anche quelli montati sulle loro produzioni nel settore automotive, sempre a scapito della concorrenza e in modo truffaldino), e oggi si preoccupano di recuperare demografia.

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  5. Molto interessante! Un po' di domande e osservazioni miste per controllare di aver capito:
    - F(k) è ragionevolmente monotona crescente, quindi l'unico fattore di che può provocare decrescita è l'ammortamento; immagino che a un certo punto si debba generalizzare il modello per includere tsunami, guerre, austerità... al limite in termini di un fattore di ammortamento che cambia nel tempo
    - sembra che sia impossibile fare investimenti sbagliati, ad esempio un ristorante dove nessuno viene a mangiare (sembra che non sia importante come si investe ma solo il fatto che si investe). Forse è impossibile fare investimenti sbagliati, nel lungo termine, perché appunto chi li fa chiude?
    - due paesi diversi, entrambi chiusi al commercio, che producano le medesime cose usando tecnologie simili dovrebbero avere traiettorie di crescita uguali (avendo la stessa F)
    - Dovrebbe essere abbastanza facile fare un confronto con i dati se non altro per l'economia mondiale, che è chiusa.

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  6. Molto chiaro. Modello semplice e con dei limiti (mi pare del tutto fuori luogo la premessa, cioe' che l'offerta crei la domanda, mi attendo una relazione piu complessa) ma mi ha aiutato a capire molte cose. Ne esiste una versione per economie aperte? Immagino di si, ma forse non e' facile tradurla per noi dummies (oppure e' argomento delle prossime puntate).

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    1. E comunque: la cosa più frappante di questo modello è che siccome

      k stazionario = [ (1-c)/delta ]^2

      il reddito pro capite si massimizza se c=0, cioè nessuno consuma niente! DAR?

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    2. Lei sta confondendo reddito e consumo. Per massimizzare il consumo pro capite non va massimizzato f(k) ma cf(k). Il modello di Solow descritto nell'articolo ha l'implicazione per cui consumo non è necessariamente massimizzato nello stato stazionario, ma per valori diversi di k.

      Il valore che massimizza il consumo pro-capite (chiamato "golden rule") è quello che si raggiunge nella versione estesa del modello di crescita neoclassico, nella quale il tasso di risparmio (1 - c) è una funzione endogena delle scelte di consumo intertemporali degli individui. Naturalmente, con tutti i caveat sul realismo del modello di cui parla Bagnai nell'articolo.

      DAR

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    3. ...e non sai quante peeeerle ho in coda di moderazione. Sarà l'Azincourt degli ingengngnieri. Un'equazione alle differenze del primo ordine! Semplice come un arco...

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    4. ops volevo dire capitale pro capite k nello stato stazionario.
      Cioè kstazionario è massimo se c è zero (a parità di delta).
      Che pareva bizzarro, ma va bene, più investimenti possibili.

      Grazie per l'estensione comunque.

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    5. Ma sono investimenti che non servono a niente, se il loro unico scopo è produrre capitale che rimpiazza capitale deprezzato! Il modello di Solow spiega come il processo di accumulazione del capitale, reso possibile dal fatto di rinunciare a parte della produzione di beni di consumo per effettuare "investimenti", influisca - o meglio, NON influisca - sulla crescita di lungo periodo di reddito e consumo pro-capite. Non dice molto su quale sia o come si determini il tasso di risparmio, che è preso come variabile esogena.

      In generale, risolvere per l'equilibrio di un modello serve a poco se si perde il quadro complessivo del problema sociale che si sta tentando di studiare. Ma devo ammettere, ahi me, che la "mathiness" non è un problema specifico degli ingegneri.

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    6. Eh, tu sei sprecato per questo blog...

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    7. Mi sa che questo post farà da cartina di tornasole per una ben determinata categoria di individui, quelli che sanno di sapere.

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    8. Certo grazie, tutto è chiaro. Cercavo solo di capire il modello fino in fondo e fino ai suoi limiti - prima di andare necessariamente oltre, come deve fare uno studente. Se no che senso ha stare a leggere sta roba?

      Comunque io qui sono studente - e posso solo aggiungere che niente è sprecato, se uno studente vuole capire. Con rinnovata gratitudine ovviamente.

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    9. "Sprecato" era per Zacchia. Concordo con la tua osservazione, caro amico dal nome impronunciabile: non esiste tempo perso, non esistono dettagli inutili.

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    10. Certo - avevo intuito - e per quello protestavo. Diciamo mi accontento di "amico".

      [E 'l nome non lo scelsi né io né mia madre, ma internet, quando io desideravo dare il mio, con i suoi incontrollabili meccanismi di opaque identifier su AIM - non modificabili. E allora sia. Di persona sarò felice di presentarmi. Poi mi ricorda Calvino. Saluti, abfaf308]

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  7. Dico la mia da ingegnere così mi faccio bakkettare subito e poi vado nell'ultima fila a nascondermi... Quando vedo il lavoro al denominatore mi insospettisco un po', penso ad una Vecchia barzelletta su potere informazione tempo denaro e lavoro ee sento puzza di bruciato. Ho vinto qualche cosa?

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  8. "Bè, pensate a cosa succede se come fattore di scala z prendiamo 1/L"...... ===> "y= F( k)"

    Ovvero : anche la forma è sostanza.

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  9. Chissà cosa accadrebbe se la nostra funzione F(x) fosse, per esempio, h*log(g(x)), con h costante e g(x) una funzione monotona crescente t.c. g(0) = 1 (per esempio g(x) = x+1) ...

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  10. Come si inserisce nel ragionamento il fatto che l'aumento di produttività (macchine migliori) produce un aumento di disoccupati, dovuto al fatto che la domanda di beni non cresce (migliori macchine, stessa produzione con meno manodopera)? E' per questo che dice che il modello è "zoppo" quando prende in considerazione la sola offerta?

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  11. errore...

    ... Questa parte è l’ammortamento, e possiamo pensare che una percentuale più o meno costante del capitale. Quello che fa crescere il ....

    MANCA UN PEZZO

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  12. Noto che a due anni dal Goofy2 nella funzione di produzione continua a mettere il lavoro a destra. Ma in effetti nel frattempo la "sinistra" ha fatto il jobs act e forse ora è davvero quello il suo posto.

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    1. Ma è che gli economisti usano l'ordine alfabetico: Kapitale e Lavoro.

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  13. Quindi il modello classico spiega anche l'amore sviscerato dei LiBBBeristi per gli ide, con il motto finché arrivano gli ide c'è da crescere!

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  14. Mi correggo sulla funzione F. Poiché il prof ha parlato di equazioni differenziali, la funzione F(x) deve essere per forza del tipo:

    F(x) = h1*(e^(-h2*g(x))-1) [*], con h1 e h2 costanti positivi e g(x) una funzione monotona crescente e derivabile, passante per l'origine.

    E' evidente che tale funzione passa per l'origine e soddisfa il requisito di funzione a rendimenti decrescenti.

    Perché questa funzione? Il motivo è chiaro: se si deriva F(x) si ottiene:

    F'(x) = h1*e^(-h2*g(x)) *(-h2*g'(x)) = -h2*g'(x)*h1*e^(-h2*g(x)).

    Sostituendo h1*e^(-h2*g(x)) con F(x)+h1, si ha:

    F'(x) = -h2*g'(x)*(F(x)+h1) = -h2*g'(x)*F(x)-h1*h2*g'(x)

    Posto G(x) = h2*g'(x) e y = F(x), si ha: y' = -G(x)*y-h1*G(x).

    Spostando '-G(x)*y' a sinistra ( qui sò obbligato ... ) si ha:

    y'+G(x)*y = -h1*G(x)

    Che assomiglia a questo (con a(x) = G(x) e f(x) = -h1*G(x)).

    Voilà! Si può definire una funzione a rendimenti decrescenti con questa equazione differenziale:

    y'+G(x)*y = -a*G(x), con a costante positiva

    e avente come condizione al contorno:

    y(0) = 0

    Non so se questa equazione è della stessa tipologia di quella che il prof vorrà menzionare in futuro...


    [*] Per gli informatici, 'x^y' qui è inteso come 'x elevato a y', non come l'operatore binario XOR ...

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    1. Caro, lei avrebbe il coraggio di dirlo anche quando il prof scriverà un post sulle equazioni differenziali?


      E comunque, me cojoni il suo 'Me cojoni!!!', se non era già chiaro. :)

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    2. Ero strabiliato, ma davvero, e da romano era un complimento; riuscire a descrivere equazioni come ha fatto, senza utilizzare convenzioni html, è davvero una cosa che mi ha sorpreso. Ciò indipendentemente dalla correttezza o meno delle sue considerazioni, che non discuto.

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  15. Ma gli ammortamenti non si traducono in consumi di alcune aziende nei riguardi di altre? Come mai determinano una contrazione del reddito procapite? Dopotutto anche in queste altre aziende ci sarà pur qualcuno a lavorare no? Inoltre spingono il salto tecnologico che non è male.

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    1. Stai chiedendo come mai la strssa quantità di capitale produce la stessa quantità di prodotto. Prova a risponderti. Per il resto, qui stiamo ipotizzando una tecnologia costante.

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    2. Una macchina ritirata dalla produzione non produce e quindi non dà reddito. Non vedo come questo implichi che chi produce la nuova macchina non guadagni! Qui il problema è ragionare in termini aggregati (ed è cosa oggettivamente complessa).

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  16. Secondo me il problema dei modelli economici è che non tengono conto del fatto che in realtà l'economia è l'interazione di una quantità 'quasi infinita' di soggetti che attualmente tendono a non collaborare perchè devono essere competitivi. E' più facile far danni che far andar bene le cose (corollario della seconda legge della TD). Più nel tecnico, la funzione Y di cui parla il Prof. non è fissa, ma variabile (o, che dir si voglia, dipende da molti altri parametri).

    Ognuno di noi tira acqua al proprio mulino. Nel capitalismo significa che, compatibilmente con le porprie capacità e mezzi, ciascuno di noi cercherà, in ambito lavorativo, di essere una calamita di soldi più o meno efficiente, interagendo in maniera estremamente complessa con chi ci sta intorno.

    Nella situazione attuale, caratterizzata dal fatto che la moneta Euro è libera di circolare e non controllata democraticamente, la strategia vincente è raccimulare denaro togliendolo agli altri. L'efficienza (o pruduttività) può a volte aiutare in questo processo, ma non è sempre necessaria: l'importante è solo prendere i soldi degli altri altrimenti sei fuori dal business. E' questo il nostro modello. Lo sa benissimo non solo il banchiere-Bilderberg cattivo (che è estremamente efficiente e con un sacco di mezzi), ma anche ognuno di noi (pur essendo meno efficienti nel raccimulare soldi ragioniamo allo stesso modo).

    Faccio un esempio: stavo discutendo l'altro giorno con un amico sulle ripetizioni che ogni tanto diamo per guadagnare due lire. Siamo arrivati alla conclusione che non conviene dare il massimo nel fare le nostre lezioni. Se lo studente impara tutto subito, verrà meno ore e io ci guadagno di meno. Meglio insegnargli poco (quel tanto che basta per farlo continuare a venire da me) in maniera che invece di fare 5 ore di ripetizioni ne faccio 10.

    In un'economia efficiente l'equilibrio si raggiungerebbe in base al cristallino ragionamento: se faccio bene il mio lavoro di insegnante, lavoro solo 5 ore invece di 10 ottenendo *LO STESSO* (lo stesso!!!) risultato, e le altre 5 vado a passeggiare (o se proprio mi garba faccio altro lavoro per diventare più produttivo). Il mio cliente imparerà più velocemente e sarà più efficiente con vantaggio sia per sè che per tutta la comunità. Quando 'aumentano i consumi' non è un bene per l'economia, ma è un male in quanto bisogna tutti faticare di più per rifare le cose che si sono consumate.

    Il risultato di tutto questo è che la Repubblica non è più fondata sul Lavoro, ma è fondata sul reddito (che è diventato appunto molto più redditizio, anche se meno produttivo). L'equilibrio, dando per scontato che esiste, si raggiunge quando la maggior parte delle persone è meno produttiva e prende una sola pagnotta di pane a testa quando potrebbe invece facilmente averne 6. Cito nuovamente: https://it.wikipedia.org/wiki/Dilemma_del_prigioniero , e qui mi permetto di contraddire il Prof. quando dice che lo svantaggio di qualcuno è sempre il vantaggio di qualcun'altro. Il gioco non è sempre a somma zero e potrebbe tranquillamente essere lo svantaggio di tutti.

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